(1) 速度に比例した抵抗力と振動電場が働くおもりの定常状態での振動の振幅 $C$ を求める。$C=mE_0$ と表される自然数 $m$ を求める。ただし、$m=2, k=8, b=4, \omega=2, q=48$ とする。

1. 問題の内容

(1) 速度に比例した抵抗力と振動電場が働くおもりの定常状態での振動の振幅 $C$ を求める。$C=mE_0$ と表される自然数 $m$ を求める。ただし、$m=2, k=8, b=4, \omega=2, q=48$ とする。

2. 解き方の手順

運動方程式は以下のようになる。

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b\frac{dx}{dt} + qE_0\cos(\omega t)$

定常状態では $x = C\cos(\omega t - \delta)$ とおける。これを運動方程式に代入すると、

$-m\omega^2 C\cos(\omega t - \delta) = -kC\cos(\omega t - \delta) + bC\omega\sin(\omega t - \delta) + qE_0\cos(\omega t)$

三角関数の合成を用いて整理すると、

$(k-m\omega^2)C\cos(\omega t - \delta) - b\omega C\sin(\omega t - \delta) = qE_0\cos(\omega t)$

左辺をさらに合成すると、

$\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}C\cos(\omega t - \delta - \alpha) = qE_0\cos(\omega t)$

ただし、$\tan\alpha = \frac{b\omega}{k-m\omega^2}$。

振幅を比較すると、

$\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}C = qE_0$

したがって、

$C = \frac{qE_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}}$

与えられた値を代入すると、

$C = \frac{48E_0}{\sqrt{(8-2\cdot2^2)^2 + (4\cdot2)^2}} = \frac{48E_0}{\sqrt{0^2 + 8^2}} = \frac{48E_0}{8} = 6E_0$

したがって、$C = 6E_0$ なので、$m=6$。

3. 最終的な答え

6