質量 $m$ のおもりがばねで天井から吊り下げられており、電荷 $q$ を持つ。おもりには速度に比例する抵抗力（比例定数 $b$）と振動電場 $E=E_0 \cos(\omega t)$ が働く。定常状態における振動の振幅 $C$ を求め、パラメータ $m, k, b, \omega, q$ が与えられたときの振幅 $C$ を計算する。さらに、減衰振動と外部振動が働く場合の運動方程式を解き、初期条件を与えて $x(t)$ を決定する。

1. 問題の内容

質量 $m$ のおもりがばねで天井から吊り下げられており、電荷 $q$ を持つ。おもりには速度に比例する抵抗力（比例定数 $b$）と振動電場 $E=E_0 \cos(\omega t)$ が働く。定常状態における振動の振幅 $C$ を求め、パラメータ $m, k, b, \omega, q$ が与えられたときの振幅 $C$ を計算する。さらに、減衰振動と外部振動が働く場合の運動方程式を解き、初期条件を与えて $x(t)$ を決定する。

2. 解き方の手順

(1) 定常状態での振動の振幅 $C$ の計算

おもりの運動方程式は次のようになる。

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx - b \frac{dx}{dt} + qE_0 \cos(\omega t)$

定常状態では $x(t) = C \cos(\omega t - \delta)$ と仮定できる。これを運動方程式に代入すると、振幅 $C$ に関する式が得られる。

$-m \omega^2 C \cos(\omega t - \delta) = -k C \cos(\omega t - \delta) + b C \omega \sin(\omega t - \delta) + qE_0 \cos(\omega t)$

$\cos$ と $\sin$ の項に分離すると、

$C = \frac{q E_0}{\sqrt{(k - m \omega^2)^2 + (b \omega)^2}}$

与えられたパラメータ $m=2, k=8, b=4, \omega=2, q=48$ を代入すると、

$C = \frac{48 E_0}{\sqrt{(8 - 2 \cdot 2^2)^2 + (4 \cdot 2)^2}} = \frac{48 E_0}{\sqrt{0 + 8^2}} = \frac{48 E_0}{8} = 6 E_0$

したがって、$C = 6 E_0$

(2) 初期条件を与えた場合の $x(t)$ の決定

$b = \sqrt{mk}$ かつ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ のとき、与えられた $x(t)$ は次の形式である。

$x(t) = \sqrt{A} e^{B t} \cos(\sqrt{C} t + \frac{\pi}{4}) + F \sin(Gt)$

ここで、$E_0 = 1$とする。

$m=2, k=8, b=4, \omega=2$

初期条件は $x(0) = C$ で、初速度は0。

まず、外部からの力がない場合の減衰振動の解を考える。

$x(t) = e^{-\frac{b}{2m}t}(A \cos(\omega't) + B \sin(\omega't))$, $\omega' = \sqrt{\omega^2 - (\frac{b}{2m})^2} = \sqrt{\frac{k}{m} - (\frac{b}{2m})^2}$

次に、外部振動に対応する解を考えると、これは定常状態における解と同じ形になる。

$x(t) = C \cos(\omega t - \delta)$. 外部振動により定常振動がおこる。

$x(t)$の解の形式をよく見ると、前半部分が減衰振動、後半部分が強制振動を表していることがわかる。

与えられたパラメータを代入し、$x(t)$を決定する。

まずは、後半の強制振動のパラメータを決定する。

$F \sin(Gt)$が強制振動を表す。強制振動の振幅は$C = \frac{q E_0}{\sqrt{(k - m \omega^2)^2 + (b \omega)^2}} = 6 E_0$であり、外部振動の角振動数は$\omega = 2$であるから、$G=2$, $F = -6$となる(サイン項が出てくるように位相を調整)。マイナスは定常解が $6 cos(wt - \pi)$になることから決まる。

次に、減衰振動のパラメータを決定する。

$x(0)=C=6$より、$x(0) = \sqrt{A} cos(\pi/4) + F sin(0)=6$から、$\sqrt{A}\frac{\sqrt{2}}{2} = 6$, よって、$\sqrt{A} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$. したがって、$A=72$

$x'(t) = 0$なので、

$x'(t) = B \sqrt{A} e^{Bt} cos(\sqrt{Ct} + \pi/4) + \sqrt{A} e^{Bt} (-\sqrt{C})sin(\sqrt{Ct} + \pi/4)$

$x'(0) = B \sqrt{A} cos(\pi/4) + \sqrt{A} (-\sqrt{C}) sin(\pi/4) = 0$

$B \sqrt{A} \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{A} \sqrt{C} \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$B = \sqrt{C}$

$B = -b/2m = -4/4 = -1$

$C = 1$

まとめると、$A=72, B=-1, C=1, F=-6, G=2, D=4$

$x(t) = \sqrt{72} e^{-t} \cos (t + \frac{\pi}{4}) - 6 \sin (2 t)$

3. 最終的な答え

(1) $C = 6E_0$

(2) A = 72, B = -1, C = 1, D = 4 (表記なし), F = -6, G = 2