(1) 自然数 $n$ に対して、$f(n) = -(\log_2 n)^2 + 5 \log_2 n$ を最大にする $n$ を求めよ。 (2) $6^{60}$ を十進法で表すとき、その桁数と上位2桁の数字を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$, $\log_{10} 7 = 0.8451$ として計算してよい。

1. 問題の内容

(1) 自然数 $n$ に対して、$f(n) = -(\log_2 n)^2 + 5 \log_2 n$ を最大にする $n$ を求めよ。

(2) $6^{60}$ を十進法で表すとき、その桁数と上位2桁の数字を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$, $\log_{10} 7 = 0.8451$ として計算してよい。

2. 解き方の手順

(1) $f(n) = -(\log_2 n)^2 + 5 \log_2 n$ を最大にする $n$ を求める。

$t = \log_2 n$ とおくと、$f(n) = -t^2 + 5t = -(t^2 - 5t) = -(t - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4}$ となる。

$f(n)$ が最大となるのは $t = \frac{5}{2}$ のときである。

つまり、$\log_2 n = \frac{5}{2}$ より、$n = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2.5} = 2^2 \cdot 2^{0.5} = 4\sqrt{2} \approx 4(1.414) = 5.656$ となる。

$n$ は自然数であるから、$n$ に最も近い整数は $5$ または $6$ である。

$n = 5$ のとき、$f(5) = -(\log_2 5)^2 + 5 \log_2 5$

$n = 6$ のとき、$f(6) = -(\log_2 6)^2 + 5 \log_2 6$

$\log_2 5 = \log_2 \frac{10}{2} = \log_2 10 - \log_2 2 = \log_2 10 - 1$

$\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3$

$f(n)$ は $t = \frac{5}{2}$ に近いほど大きくなる。

$\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10} \frac{10}{2}}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10} 10 - \log_{10} 2}{\log_{10} 2} = \frac{1 - 0.3010}{0.3010} = \frac{0.699}{0.3010} \approx 2.322$

$\log_2 6 = \frac{\log_{10} 6}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10} 2 + \log_{10} 3}{\log_{10} 2} = \frac{0.3010 + 0.4771}{0.3010} = \frac{0.7781}{0.3010} \approx 2.585$

$t = \log_2 n = \frac{5}{2} = 2.5$ なので、$n = 6$ の方が近い。

$n=3$のとき $f(n)$ は最大となる。

$2^{5/2} = 5.65\cdots$だから、5,6で検討する。

$f(5) = -(\log_2 5)^2+5\log_2 5$

$f(6) = -(\log_2 6)^2+5\log_2 6$

$\log_2 5 = \log_2 (10/2) = \log_2 10-1 \approx 3.32-1=2.32$

$\log_2 6 = \log_2 (2*3) = 1+\log_2 3 \approx 1+1.58 = 2.58$

5よりも6の方が2.5に近いから、最大となる$n$は6。

$n=5$の時、$f(5)=-(2.32)^2+5*2.32=-5.3824+11.6 = 6.2176$

$n=6$の時、$f(6)=-(2.58)^2+5*2.58=-6.6564+12.9=6.2436$

$n=6$の時、$f(n)$は最大となる。

(2) $6^{60}$ の桁数と上位2桁の数字を求める。

$\log_{10} (6^{60}) = 60 \log_{10} 6 = 60 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 60 (0.3010 + 0.4771) = 60 (0.7781) = 46.686$

桁数は $\lfloor \log_{10} (6^{60}) \rfloor + 1 = \lfloor 46.686 \rfloor + 1 = 46 + 1 = 47$ 桁。

上位2桁は $10^{0.686}$ を計算する。

$\log_{10} 4 = 2 \log_{10} 2 = 2(0.3010) = 0.6020$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$0.6020 < 0.686 < 0.6990$ なので、$4 < 10^{0.686} < 5$ となる。

$\log_{10} 4.8 = \log_{10} \frac{48}{10} = \log_{10} (16 \cdot 3 /10)=4\log_{10} 2 + \log_{10} 3 -1 =4(0.301)+0.4771-1 = 1.204+0.4771-1 = 0.6811$

$\log_{10} 4.9 = \log_{10} \frac{49}{10} = \log_{10} (7^2 /10)=2\log_{10} 7 -1 =2(0.8451)-1 = 1.6902-1 = 0.6902$

$10^{0.686}$は4.8と4.9の間なので48。

3. 最終的な答え

(1) $n = 6$

(2) 桁数: 47桁、上位2桁: 48