与えられた画像には、ロジスティック方程式に関する問題(Q3)と、2階の微分方程式に関する問題(Q4)の2つの問題が含まれています。 Q3では、ロジスティック方程式 $\dot{y} = A(1 - \frac{y}{B})y$ (A, B は定数) を与え、いくつかの手順で解くように指示されています。 (1) 特定の数式を答える。 (2) $u$ を求める。 (3) 初期条件 $t=0$ で $y=B$ の場合の $y$ を求める。 Q4では、$y'' + 2(y')^2 = 0$ を与え、いくつかの手順で解くように指示されています。 (1) $y' = u(x)$ と置くと、$u' + 2u^2 = 0$ が得られる。この微分方程式を変数分離法で解き、$u(x)$ を求める。 (2) (1)の解が $y(x)$ の直積分形微分方程式になるので、$y(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた画像には、ロジスティック方程式に関する問題(Q3)と、2階の微分方程式に関する問題(Q4)の2つの問題が含まれています。

Q3では、ロジスティック方程式 $\dot{y} = A(1 - \frac{y}{B})y$ (A, B は定数) を与え、いくつかの手順で解くように指示されています。

(1) 特定の数式を答える。

(2) $u$ を求める。

(3) 初期条件 $t=0$ で $y=B$ の場合の $y$ を求める。

Q4では、$y'' + 2(y')^2 = 0$ を与え、いくつかの手順で解くように指示されています。

(1) $y' = u(x)$ と置くと、$u' + 2u^2 = 0$ が得られる。この微分方程式を変数分離法で解き、$u(x)$ を求める。

(2) (1)の解が $y(x)$ の直積分形微分方程式になるので、$y(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

Q

3. (1) 下線の数式は $\frac{du}{dt}=A(\frac{u}{B}-1)$です。これにマイナスをかけて $ \frac{du}{dt}=A(1-\frac{u}{B})$ となります。

Q

3. (2) 与えられた式 $\frac{du}{dt}=A(1-\frac{u}{B})$を解きます。

まず、変数分離を行います。

$\frac{du}{A(1-\frac{u}{B})} = dt$

$\frac{du}{A - \frac{A}{B}u} = dt$

$\int \frac{du}{A - \frac{A}{B}u} = \int dt$

$-\frac{B}{A} \ln|A - \frac{A}{B}u| = t + C_1$ ( $C_1$ は積分定数)

$\ln|A - \frac{A}{B}u| = -\frac{A}{B}t + C_2$ ( $C_2 = -\frac{A}{B}C_1$)

$A - \frac{A}{B}u = Ce^{-\frac{A}{B}t}$ ( $C = e^{C_2}$)

$\frac{A}{B}u = A - Ce^{-\frac{A}{B}t}$

$u = B - \frac{BC}{A}e^{-\frac{A}{B}t}$

$u = B + C'e^{-\frac{A}{B}t}$ ( $C' = -\frac{BC}{A}$)

Q

3. (3) 初期条件 $t=0$ で $y=B$ を使用します。

$u = \frac{1}{y}$ なので $u = \frac{1}{B}$ となります。

$\frac{1}{B} = B + C'$

$C' = \frac{1}{B} - B = \frac{1 - B^2}{B}$

よって、

$u = B + (\frac{1 - B^2}{B})e^{-\frac{A}{B}t}$

$\frac{1}{y} = B + (\frac{1 - B^2}{B})e^{-\frac{A}{B}t}$

$y = \frac{1}{B + (\frac{1 - B^2}{B})e^{-\frac{A}{B}t}} = \frac{B}{B^2 + (1-B^2)e^{-\frac{A}{B}t}}$

Q

4. (1) $u' + 2u^2 = 0$ を解きます。変数分離を行うと、

$\frac{du}{dx} = -2u^2$

$\frac{du}{u^2} = -2 dx$

$\int \frac{du}{u^2} = \int -2 dx$

$-\frac{1}{u} = -2x + C_1$

$\frac{1}{u} = 2x + C_2$ ( $C_2 = -C_1$)

$u = \frac{1}{2x + C_2}$

Q

4. (2) $y' = u = \frac{1}{2x + C_2}$ を積分して $y(x)$ を求めます。

$y(x) = \int \frac{1}{2x + C_2} dx$

$y(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + C_2| + C_3$ ($C_3$は積分定数)

3. 最終的な答え

Q

3. (1) $\frac{du}{dt}=A(1-\frac{u}{B})$

Q

3. (2) $u = B + C'e^{-\frac{A}{B}t}$ ( $C'$ は積分定数)

Q

3. (3) $y = \frac{B}{B^2 + (1-B^2)e^{-\frac{A}{B}t}}$

Q

4. (1) $u = \frac{1}{2x + C_2}$ ( $C_2$ は積分定数)

Q

4. (2) $y(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + C_2| + C_3$ ( $C_2, C_3$ は積分定数)