直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間と直径 $D_2$, 長さ $l_2$ の区間を持つ段付き丸棒の両端に引張荷重 $P$ が作用する。直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間に生じる応力、ひずみ、伸び、および棒全体の伸びを求めよ。ただし、棒のヤング率は一様に $E$ である。

1. 問題の内容

直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間と直径 $D_2$, 長さ $l_2$ の区間を持つ段付き丸棒の両端に引張荷重 $P$ が作用する。直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間に生じる応力、ひずみ、伸び、および棒全体の伸びを求めよ。ただし、棒のヤング率は一様に $E$ である。

2. 解き方の手順

まず、直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間（区間1とする）と直径 $D_2$, 長さ $l_2$ の区間（区間2とする）に分けて考えます。

区間1について：

- 面積 $A_1$ を計算します。$A_1 = \pi (D_1/2)^2 = \frac{\pi D_1^2}{4}$

- 応力 $\sigma_1$ を計算します。$\sigma_1 = \frac{P}{A_1} = \frac{4P}{\pi D_1^2}$

- ひずみ $\epsilon_1$ を計算します。$\epsilon_1 = \frac{\sigma_1}{E} = \frac{4P}{\pi D_1^2 E}$

- 伸び $\delta_1$ を計算します。$\delta_1 = \epsilon_1 l_1 = \frac{4Pl_1}{\pi D_1^2 E}$

区間2について：

- 面積 $A_2$ を計算します。$A_2 = \pi (D_2/2)^2 = \frac{\pi D_2^2}{4}$

- 応力 $\sigma_2$ を計算します。$\sigma_2 = \frac{P}{A_2} = \frac{4P}{\pi D_2^2}$

- ひずみ $\epsilon_2$ を計算します。$\epsilon_2 = \frac{\sigma_2}{E} = \frac{4P}{\pi D_2^2 E}$

- 伸び $\delta_2$ を計算します。$\delta_2 = \epsilon_2 l_2 = \frac{4Pl_2}{\pi D_2^2 E}$

棒全体の伸び $\delta$ は、各区間の伸びの和で求められます。

$\delta = \delta_1 + \delta_2 = \frac{4Pl_1}{\pi D_1^2 E} + \frac{4Pl_2}{\pi D_2^2 E} = \frac{4P}{\pi E} (\frac{l_1}{D_1^2} + \frac{l_2}{D_2^2})$

3. 最終的な答え

直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間に生じる応力: $\frac{4P}{\pi D_1^2}$

直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間に生じるひずみ: $\frac{4P}{\pi D_1^2 E}$

直径 $D_1$, 長さ $l_1$ の区間に生じる伸び: $\frac{4Pl_1}{\pi D_1^2 E}$

棒全体の伸び: $\frac{4P}{\pi E} (\frac{l_1}{D_1^2} + \frac{l_2}{D_2^2})$