与えられた常微分方程式の問題を解きます。 2.2 (a) $y'' - y' = 0$, with $u = y'$ 2.3 (a) $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$ 2.4 $y_1 = x$ と $y_2 = 2x$ が線形独立かどうか判定する

1. 問題の内容

与えられた常微分方程式の問題を解きます。

2.2 (a) $y'' - y' = 0$, with $u = y'$

2.3 (a) $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$

2.4 $y_1 = x$ と $y_2 = 2x$ が線形独立かどうか判定する

2. 解き方の手順

2.2 (a) $y'' - y' = 0$ を $u = y'$ で解く

$y' = u$ なので $y'' = u'$ となる。与式に代入すると

$u' - u = 0$

$\frac{du}{dx} = u$

$\frac{du}{u} = dx$

両辺を積分すると

$\int \frac{du}{u} = \int dx$

$\ln |u| = x + C_1$

$u = C_2e^x$

$y' = C_2e^x$

$\frac{dy}{dx} = C_2e^x$

$dy = C_2e^x dx$

両辺を積分すると

$\int dy = \int C_2e^x dx$

$y = C_2e^x + C_3$

2.3 (a) $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$ を解く

$y' = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$

これは同次形なので $y = vx$ と置く。すると $y' = v + x\frac{dv}{dx}$ となる。与式に代入すると

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2x^2 - x^2}{2vx^2} = \frac{v^2 - 1}{2v}$

$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{2v} - v = \frac{v^2 - 1 - 2v^2}{2v} = \frac{-v^2 - 1}{2v} = -\frac{v^2 + 1}{2v}$

$\frac{2v}{v^2 + 1} dv = -\frac{1}{x} dx$

両辺を積分すると

$\int \frac{2v}{v^2 + 1} dv = \int -\frac{1}{x} dx$

$\ln |v^2 + 1| = -\ln |x| + C_1$

$\ln |v^2 + 1| + \ln |x| = C_1$

$\ln |x(v^2 + 1)| = C_1$

$x(v^2 + 1) = C_2$

$v = \frac{y}{x}$ なので

$x(\frac{y^2}{x^2} + 1) = C_2$

$x(\frac{y^2 + x^2}{x^2}) = C_2$

$\frac{x^2 + y^2}{x} = C_2$

$x^2 + y^2 = C_2x$

2.4 $y_1 = x$ と $y_2 = 2x$ が線形独立かどうか判定する

$c_1y_1 + c_2y_2 = 0$ となる定数 $c_1, c_2$ が存在するか調べる。

$c_1x + c_2(2x) = 0$

$(c_1 + 2c_2)x = 0$

$c_1 + 2c_2 = 0$

$c_1 = -2c_2$

$c_2 = 1$ とすると $c_1 = -2$ となり、共にゼロではない解が存在するので線形従属である。

3. 最終的な答え

2.2 (a) $y = C_2e^x + C_3$

2.3 (a) $x^2 + y^2 = Cx$ (Cは定数)

2.4 線形従属