ある結晶において、原子間結合の平衡原子間距離 $r_0 = 0.30 \text{ nm}$ に対し、結合の強さ $S_0 = \frac{d^2 U}{dr^2} \Bigr|_{r=r_0} = 18 \text{ Nm}^{-1}$ が理論的に求められた。ヤング率 $E$ を求める。

1. 問題の内容

ある結晶において、原子間結合の平衡原子間距離 $r_0 = 0.30 \text{ nm}$ に対し、結合の強さ $S_0 = \frac{d^2 U}{dr^2} \Bigr|_{r=r_0} = 18 \text{ Nm}^{-1}$ が理論的に求められた。ヤング率 $E$ を求める。

2. 解き方の手順

ヤング率 $E$ は、原子間ポテンシャルの二階微分と平衡原子間距離を使って次のように表されます。

$E = \frac{1}{r_0} \frac{d^2 U}{dr^2} \Bigr|_{r=r_0}$

ここで、$r_0 = 0.30 \text{ nm} = 0.30 \times 10^{-9} \text{ m}$ であり、$\frac{d^2 U}{dr^2} \Bigr|_{r=r_0} = 18 \text{ Nm}^{-1}$ であるので、ヤング率 $E$ は以下のように計算できます。

$E = \frac{1}{0.30 \times 10^{-9} \text{ m}} \times 18 \text{ Nm}^{-1} = 60 \times 10^9 \text{ N/m}^2 = 60 \text{ GPa}$

3. 最終的な答え

60 GPa