直径8mm、長さ120mmの丸棒に、両端から800Nの引張荷重が静的に作用している。棒のヤング率を210GPa、ポアソン比を0.28とする。このとき、以下の3つの量を求める問題です。 1. 荷重方向に生じる引張応力$\sigma$ 2. 棒の伸び$\delta$ 3. 径方向（横方向）のひずみ$\epsilon_r$

1. 問題の内容

直径8mm、長さ120mmの丸棒に、両端から800Nの引張荷重が静的に作用している。棒のヤング率を210GPa、ポアソン比を0.28とする。このとき、以下の3つの量を求める問題です。

1. 荷重方向に生じる引張応力$\sigma$

2. 棒の伸び$\delta$

3. 径方向（横方向）のひずみ$\epsilon_r$

2. 解き方の手順

1. 引張応力$\sigma$の計算：

引張応力は、荷重を断面積で割ることで求められます。

断面積$A$は、$A = \pi r^2$で計算します。ここで、$r$は半径で、直径の半分です。

$r = 8 \text{ mm} / 2 = 4 \text{ mm} = 0.004 \text{ m}$

$A = \pi (0.004 \text{ m})^2 = \pi \times 16 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \approx 5.027 \times 10^{-5} \text{ m}^2$

$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{800 \text{ N}}{5.027 \times 10^{-5} \text{ m}^2} \approx 15.915 \times 10^6 \text{ Pa} = 15.915 \text{ MPa}$

2. 棒の伸び$\delta$の計算：

ヤング率$E$は、応力とひずみの比です。$\epsilon = \frac{\sigma}{E}$

ひずみ$\epsilon$は、$\epsilon = \frac{\delta}{L}$で求められます。ここで、$L$は元の長さです。

よって、$\frac{\delta}{L} = \frac{\sigma}{E}$

$\delta = \frac{\sigma L}{E} = \frac{15.915 \times 10^6 \text{ Pa} \times 0.12 \text{ m}}{210 \times 10^9 \text{ Pa}} = \frac{1.9098 \times 10^6}{210 \times 10^9} \text{ m} \approx 9.094 \times 10^{-6} \text{ m} = 0.009094 \text{ mm}$

3. 径方向のひずみ$\epsilon_r$の計算：

ポアソン比$\nu$は、横ひずみ（径方向のひずみ）と縦ひずみ（荷重方向のひずみ）の比の絶対値です。

$\nu = -\frac{\epsilon_r}{\epsilon}$

$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{15.915 \times 10^6 \text{ Pa}}{210 \times 10^9 \text{ Pa}} \approx 7.579 \times 10^{-5}$

$\epsilon_r = -\nu \epsilon = -0.28 \times 7.579 \times 10^{-5} \approx -2.122 \times 10^{-5}$

3. 最終的な答え

1. 引張応力$\sigma$: 15.915 MPa

2. 棒の伸び$\delta$: 0.009094 mm

3. 径方向のひずみ$\epsilon_r$: -2.122 x 10^-5