質量 $m$ [kg] の物体 A が長さの無視できる糸で吊り下げられており、最下点から $h$ [m] の高さまで持ち上げられて静かに離される。物体 A は最下点で質量 $M$ [kg] の物体 B と衝突し、一体となる。以下の問いに答えよ。重力加速度は $g$ [m/s$^2$] とする。 (1) 最下点での衝突直前の物体 A の速さ $v$ [m/s] を求めよ。 (2) 物体 A と物体 B が衝突し、一体となった直後の速さ $V$ [m/s] を求めよ。 (3) 一体となったあと、A と B が最下点から上がった最高点の高さ $H$ [m] を求めよ。 (4) 衝突の際に失われたエネルギー $\Delta E$ を求めよ。この失われたエネルギーはどこへ行ったか。

1. 問題の内容

質量 $m$ [kg] の物体 A が長さの無視できる糸で吊り下げられており、最下点から $h$ [m] の高さまで持ち上げられて静かに離される。物体 A は最下点で質量 $M$ [kg] の物体 B と衝突し、一体となる。以下の問いに答えよ。重力加速度は $g$ [m/s$^2$] とする。

(1) 最下点での衝突直前の物体 A の速さ $v$ [m/s] を求めよ。

(2) 物体 A と物体 B が衝突し、一体となった直後の速さ $V$ [m/s] を求めよ。

(3) 一体となったあと、A と B が最下点から上がった最高点の高さ $H$ [m] を求めよ。

(4) 衝突の際に失われたエネルギー $\Delta E$ を求めよ。この失われたエネルギーはどこへ行ったか。

2. 解き方の手順

(1) 物体 A が高さ $h$ から落下する際のエネルギー保存則を用いる。

位置エネルギーが運動エネルギーに変換されるので、

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{2gh}$

(2) 物体 A と物体 B の衝突は非弾性衝突なので、運動量保存則を用いる。

衝突直前の A の運動量は $mv$ であり、B は静止しているので運動量は 0 である。

衝突後の運動量は $(m+M)V$ であるから、

$mv = (m+M)V$

$V = \frac{m}{m+M}v = \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh}$

(3) 一体となった物体が最高点まで上がる際のエネルギー保存則を用いる。

運動エネルギーが位置エネルギーに変換されるので、

$\frac{1}{2}(m+M)V^2 = (m+M)gH$

$H = \frac{V^2}{2g} = \frac{(\frac{m}{m+M}\sqrt{2gh})^2}{2g} = \frac{m^2}{(m+M)^2} \frac{2gh}{2g} = \frac{m^2}{(m+M)^2} h$

(4) 衝突の際に失われたエネルギー $\Delta E$ は、衝突前後の運動エネルギーの差として計算される。

衝突前の A の運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2 = mgh$ である。

衝突後の A と B の運動エネルギーは $\frac{1}{2}(m+M)V^2 = \frac{1}{2}(m+M) (\frac{m}{m+M}\sqrt{2gh})^2 = \frac{1}{2}(m+M) \frac{m^2}{(m+M)^2} 2gh = \frac{m^2gh}{m+M}$ である。

したがって、

$\Delta E = mgh - \frac{m^2gh}{m+M} = \frac{mgh(m+M) - m^2gh}{m+M} = \frac{m^2gh + Mmgh - m^2gh}{m+M} = \frac{Mmgh}{m+M}$

失われたエネルギーは、衝突の際の熱エネルギーや音エネルギーなどに変換される。

3. 最終的な答え

(1) $v = \sqrt{2gh}$

(2) $V = \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh}$

(3) $H = \frac{m^2}{(m+M)^2} h$

(4) $\Delta E = \frac{Mmgh}{m+M}$ 、失われたエネルギーは熱エネルギーや音エネルギーなどに変換される。