半径 $r$ の半球の上に直円柱をのせて中立のすわりにするのに必要な円柱の高さを求めよ。ここで、半球の重心を $G_1$、円柱の重心を $G_2$ とする。

1. 問題の内容

半径 $r$ の半球の上に直円柱をのせて中立のすわりにするのに必要な円柱の高さを求めよ。ここで、半球の重心を $G_1$、円柱の重心を $G_2$ とする。

2. 解き方の手順

中立のすわりになるには、全体の重心が点Oにくればよい。点Oのまわりのモーメントのつりあいより、半球の重さ $W_1$ と円柱の重さ $W_2$ を用いて、以下の式が成り立つ。半球の重心 $G_1$ は中心Oから $3r/8$ の位置にあり、円柱の重心 $G_2$ は中心Oから $h/2$ の位置にある。

$W_1 \times (3r/8) = W_2 \times (h/2)$

半球の体積は $2/3 \pi r^3$ であり、円柱の体積は $\pi r^2 h$ である。密度を $\rho$ とすると、それぞれの重さは以下のようになる。

$W_1 = \rho (2/3 \pi r^3) g$

$W_2 = \rho (\pi r^2 h) g$

モーメントのつりあいの式に代入すると、

$\rho (2/3 \pi r^3) g (3r/8) = \rho (\pi r^2 h) g (h/2)$

$\rho$, $\pi$, $r^2$, $g$ で両辺を割ると

$(2/3) r (3r/8) = h (h/2)$

$(1/4) r^2 = h^2/2$

$h^2 = (1/2) r^2$

$h = \sqrt{(1/2) r^2}$

$h = r/\sqrt{2}$

$h = (\sqrt{2}/2) r$

3. 最終的な答え

$h = \frac{\sqrt{2}}{2}r$