水平面上を等速で走っていた自動車が、点Pでアクセルを踏み加速を始めた。0.10秒ごとの自動車の位置がQ1, Q2, Q3,...となっている。 (1) Q1, Q2点間の平均の速さを求める。 (2) アクセルを踏んで加速させたP点からの自動車の速さ $v$ と経過時間 $t$ との関係をグラフにする。 (3) 自動車がP点に達した瞬間の速さを求める。 (4) 自動車に生じた加速度の大きさを求める。

1. 問題の内容

水平面上を等速で走っていた自動車が、点Pでアクセルを踏み加速を始めた。0.10秒ごとの自動車の位置がQ1, Q2, Q3,...となっている。

(1) Q1, Q2点間の平均の速さを求める。

(2) アクセルを踏んで加速させたP点からの自動車の速さ $v$ と経過時間 $t$ との関係をグラフにする。

(3) 自動車がP点に達した瞬間の速さを求める。

(4) 自動車に生じた加速度の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) Q1, Q2間での平均の速さを求める。Q1とQ2の間の距離は0.60 m。時間は0.10秒。

平均の速さ $v_{Q1Q2} = \frac{0.60 \text{ m}}{0.10 \text{ s}}$。

(2) 等加速度運動をしているので、時刻 $t$ における速度 $v$ は $v = v_0 + at$ で表される。ここで、$v_0$はP点での速度、$a$ は加速度、$t$ はP点からの経過時間である。

Q1, Q2, Q3, Q4の各点における速度を求め、$v-t$グラフを描く。

(3) 加速度が一定であると仮定すると、PQ1間の距離と時間からP点での速度を求めることができる。まず加速度を求め、それを用いて初速度を計算する。

PからQ1までの距離は0.40mである。時間0.10秒で0.40m進む間に加速した。

$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ の式を用いる。

$0.40 = v_0(0.10) + \frac{1}{2}a(0.10)^2$

$0.40 = 0.10 v_0 + 0.005 a$

Q1からQ2までの距離は0.60mである。時間0.10秒。

$0.60 = (v_0 + 0.10 a)(0.10) + \frac{1}{2}a(0.10)^2$

$0.60 = 0.10v_0 + 0.01 a + 0.005 a = 0.10v_0 + 0.015a$

連立方程式を解く。

$0.40 = 0.10 v_0 + 0.005 a$

$0.60 = 0.10 v_0 + 0.015 a$

上の式を引くと

$0.20 = 0.01 a$

$a = 20 \text{ m/s}^2$

$0.40 = 0.10v_0 + 0.005 (20) = 0.10v_0 + 0.10$

$0.30 = 0.10v_0$

$v_0 = 3.0 \text{ m/s}$

(4) 加速度は、0.1秒ごとに距離が増加する割合から求める。

Q1Q2間の距離は0.60m、Q2Q3間の距離は0.80m、Q3Q4間の距離は1.00m。

速度の増加は 0.20m/0.1s = 2m/s ずつ増えているので、加速度は $a = \frac{2 \text{ m/s}}{0.1 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}^2$

3. 最終的な答え

(1) Q1, Q2点間の平均の速さ: $v_{Q1Q2} = \frac{0.60}{0.10} = 6.0 \text{ m/s}$

(2) グラフ: P点での速度3.0 m/sから、傾き20 m/s^2 の直線

(3) P点での速度: $3.0 \text{ m/s}$

(4) 加速度: $20 \text{ m/s}^2$