質量 $m_1$ と $m_2$ の2つの質点がばね定数 $k$, 自然長 $l_0$ のばねで結ばれている状況を考える。 時刻 $t=0$ に重心を原点から初速度 $v_0 = (v_{x0}, v_{y0})$ で斜方投射した。 重力加速度は $g = (0, -g)$ である。 (a) 各質点の運動方程式を求めよ。 (b) 重心運動の運動方程式と相対運動 $r_1 - r_2$ の運動方程式を求めよ。 (c) 重心運動について、最高到達点の $y$ 座標 $H$, 落下点の $x$ 座標 $R$ を求めよ。 また、$xy$ 平面における重心の軌跡を $H, R, x$ を用いて表せ。落下点の導出において、ばねの大きさは無視できるとする。 (d) 上記の結果に基づき、2つの質点がしめす運動を定性的に説明せよ。

1. 問題の内容

質量 $m_1$ と $m_2$ の2つの質点がばね定数 $k$, 自然長 $l_0$ のばねで結ばれている状況を考える。

時刻 $t=0$ に重心を原点から初速度 $v_0 = (v_{x0}, v_{y0})$ で斜方投射した。

重力加速度は $g = (0, -g)$ である。

(a) 各質点の運動方程式を求めよ。

(b) 重心運動の運動方程式と相対運動 $r_1 - r_2$ の運動方程式を求めよ。

(c) 重心運動について、最高到達点の $y$ 座標 $H$, 落下点の $x$ 座標 $R$ を求めよ。

また、$xy$ 平面における重心の軌跡を $H, R, x$ を用いて表せ。落下点の導出において、ばねの大きさは無視できるとする。

(d) 上記の結果に基づき、2つの質点がしめす運動を定性的に説明せよ。

2. 解き方の手順

(a) 各質点の運動方程式

質点1の運動方程式は

$m_1 \ddot{r}_1 = -k (|r_1 - r_2| - l_0) \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|} + m_1 g$

質点2の運動方程式は

$m_2 \ddot{r}_2 = k (|r_1 - r_2| - l_0) \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|} + m_2 g$

(b) 重心運動と相対運動

重心の位置ベクトル $r_G = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$

重心運動の運動方程式は

$(m_1 + m_2) \ddot{r}_G = m_1 \ddot{r}_1 + m_2 \ddot{r}_2 = (m_1 + m_2) g$

したがって、

$\ddot{r}_G = g$

相対運動ベクトル $\xi = r_1 - r_2$

相対運動の運動方程式は

$\ddot{\xi} = \ddot{r}_1 - \ddot{r}_2 = -\frac{k}{m_1} (|r_1 - r_2| - l_0) \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|} + g - \frac{k}{m_2} (|r_1 - r_2| - l_0) \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|} - g$

$\ddot{\xi} = -k (\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}) (|\xi| - l_0) \frac{\xi}{|\xi|}$

$\ddot{\xi} = -k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} (|\xi| - l_0) \frac{\xi}{|\xi|}$

(c) 重心運動について

重心の運動は通常の斜方投射である。

初期条件は $r_G(0) = (0,0)$, $\dot{r}_G(0) = (v_{x0}, v_{y0})$

$\ddot{r}_G = g = (0,-g)$

したがって、

$\dot{r}_G = (v_{x0}, v_{y0} - gt)$

$r_G = (v_{x0} t, v_{y0} t - \frac{1}{2}gt^2)$

最高到達点では $\dot{y}_G = v_{y0} - gt = 0$, したがって $t = \frac{v_{y0}}{g}$

最高到達点の $y$ 座標は $H = v_{y0} \frac{v_{y0}}{g} - \frac{1}{2} g (\frac{v_{y0}}{g})^2 = \frac{v_{y0}^2}{2g}$

落下点では $y_G = v_{y0} t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$, したがって $t = \frac{2v_{y0}}{g}$

落下点の $x$ 座標は $R = v_{x0} \frac{2v_{y0}}{g} = \frac{2v_{x0}v_{y0}}{g}$

重心の軌跡は放物線で、$y = -\frac{g}{2v_{x0}^2} x^2 + \frac{v_{y0}}{v_{x0}}x$.

$y = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x^2 - \frac{2v_{x0}v_{y0}}{g}x) = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x^2 - Rx)$

$y = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x - \frac{R}{2})^2 + \frac{g}{2v_{x0}^2} (\frac{R}{2})^2 = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x - \frac{R}{2})^2 + \frac{g}{2v_{x0}^2} \frac{R^2}{4}$

$y = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x - \frac{R}{2})^2 + \frac{v_{y0}^2}{2g} = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x - \frac{R}{2})^2 + H$

(d) 定性的な説明

重心は通常の斜方投射運動をする。

2つの質点は、重心の周りをばねの力によって振動しながら、全体としては重心運動に従う放物運動を行う。

3. 最終的な答え

(a)

$m_1 \ddot{r}_1 = -k (|r_1 - r_2| - l_0) \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|} + m_1 g$

$m_2 \ddot{r}_2 = k (|r_1 - r_2| - l_0) \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|} + m_2 g$

(b)

$\ddot{r}_G = g$

$\ddot{\xi} = -k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} (|\xi| - l_0) \frac{\xi}{|\xi|}$

(c)

$H = \frac{v_{y0}^2}{2g}$

$R = \frac{2v_{x0}v_{y0}}{g}$

$y = -\frac{g}{2v_{x0}^2} (x - \frac{R}{2})^2 + H$

(d)

重心は通常の斜方投射運動をする。2つの質点は重心の周りを振動しながら放物運動を行う。