全体集合$U$, 集合$A$, 集合$B$が与えられたとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$と$\overline{A \cup B}$を求める問題です。ここで、 $U = \{x \mid x \text{は13より小さい自然数}\}$ $A = \{x \mid x \text{は6の正の約数}\}$ $B = \{x \mid x \text{は12の正の約数}\}$ です。

1. 問題の内容

全体集合$U$, 集合$A$, 集合$B$が与えられたとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$と$\overline{A \cup B}$を求める問題です。ここで、

$U = \{x \mid x \text{は13より小さい自然数}\}$

$A = \{x \mid x \text{は6の正の約数}\}$

$B = \{x \mid x \text{は12の正の約数}\}$

です。

2. 解き方の手順

まず、$U$, $A$, $B$の要素を具体的に書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$A = \{1, 2, 3, 6\}$

$B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

次に、$\overline{A}$と$\overline{B}$を求めます。$\overline{A}$は$U$の中で$A$に含まれない要素の集合、$B$は$U$の中で$B$に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$\overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$は、$\overline{A}$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

$A \cup B$は、$A$と$B$の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$\overline{A \cup B}$は、$U$の中で$A \cup B$に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

$\overline{A \cup B} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$