問題は2つあります。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k$ を求める問題。 (2) $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2}$ を求める問題。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k$ を求める問題。

(2) $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2}$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k$ について

二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^k$ を利用する。

両辺を $x$ で微分すると、

$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k x^{k-1}$

$x=1$ を代入すると、

$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k (1)^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k = n 2^{n-1}$

(2) $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2}$ について

${}_{2n}C_{2k+1} = \frac{(2n)!}{(2k+1)!(2n-2k-1)!}$である。

$\frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2} = \frac{(2n)!}{(2k+2)!(2n-2k-1)!} \frac{2n-2k}{2n-2k} = \frac{1}{2n+1} \frac{(2n+1)!}{(2k+2)!(2n-2k-1)!}$

$=\frac{1}{2n+1} {}_{2n+1}C_{2k+2}$

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2n+1} {}_{2n+1}C_{2k+2} = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n+1}C_{2k+2}$

ここで、二項定理より、

$(1+1)^{2n+1} = \sum_{i=0}^{2n+1} {}_{2n+1}C_{i} = {}_{2n+1}C_{0} + {}_{2n+1}C_{1} + {}_{2n+1}C_{2} + ... + {}_{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$

$(1-1)^{2n+1} = \sum_{i=0}^{2n+1} {}_{2n+1}C_{i} (-1)^{i} = {}_{2n+1}C_{0} - {}_{2n+1}C_{1} + {}_{2n+1}C_{2} - ... - {}_{2n+1}C_{2n+1} = 0$

2つの式を足し合わせると、

$2({}_{2n+1}C_{0} + {}_{2n+1}C_{2} + ... + {}_{2n+1}C_{2n}) = 2^{2n+1}$

${}_{2n+1}C_{0} + {}_{2n+1}C_{2} + ... + {}_{2n+1}C_{2n} = 2^{2n}$

$\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n+1}C_{2k+2} = {}_{2n+1}C_{2} + {}_{2n+1}C_{4} + ... + {}_{2n+1}C_{2n} = 2^{2n} - {}_{2n+1}C_0 = 2^{2n} - 1$

よって、

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2} = \frac{1}{2n+1} (2^{2n}-1) = \frac{4^n - 1}{2n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} k {}_n C_k = n 2^{n-1}$

(2) $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2} = \frac{4^n - 1}{2n+1}$