$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

次に、$x^3y+xy^3$ を因数分解します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$

ここで、$x+y$ と $xy$ を求めます。

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

$xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

したがって、$x^3y+xy^3 = xy(x^2+y^2) = (1)(14) = 14$

3. 最終的な答え

14