問題2-1、2-2、2-3の3つの問題があります。それぞれの問題で、数列の極限を求める必要があります。 * 問題2-1(1): $\lim_{m \to \infty} \frac{7m^2 - 1}{m^2 + 6m}$ * 問題2-1(2): $\lim_{m \to \infty} \frac{m!}{(m+1)! + 1}$ * 問題2-2: $\lim_{n \to \infty} (1 + 2^n + 3^n)^{\frac{1}{n}}$ * 問題2-3: $a_1 = \frac{1}{2}$、 $a_{n+1} = a_n^2$で定義される数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ について、$n \to \infty$のときの極限を求めよ。

1. 問題の内容

問題2-1、2-2、2-3の3つの問題があります。それぞれの問題で、数列の極限を求める必要があります。

* 問題2-1(1): $\lim_{m \to \infty} \frac{7m^2 - 1}{m^2 + 6m}$

* 問題2-1(2): $\lim_{m \to \infty} \frac{m!}{(m+1)! + 1}$

* 問題2-2: $\lim_{n \to \infty} (1 + 2^n + 3^n)^{\frac{1}{n}}$

* 問題2-3: $a_1 = \frac{1}{2}$、 $a_{n+1} = a_n^2$で定義される数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ について、$n \to \infty$のときの極限を求めよ。

2. 解き方の手順

* **問題2-1(1):**

分子と分母を$m^2$で割ります。

$\lim_{m \to \infty} \frac{7m^2 - 1}{m^2 + 6m} = \lim_{m \to \infty} \frac{7 - \frac{1}{m^2}}{1 + \frac{6}{m}}$

$m \to \infty$のとき、$\frac{1}{m^2} \to 0$、$\frac{6}{m} \to 0$なので、

$\lim_{m \to \infty} \frac{7 - \frac{1}{m^2}}{1 + \frac{6}{m}} = \frac{7 - 0}{1 + 0} = 7$

* **問題2-1(2):**

$(m+1)! = (m+1)m!$を使うと、

$\lim_{m \to \infty} \frac{m!}{(m+1)! + 1} = \lim_{m \to \infty} \frac{m!}{(m+1)m! + 1}$

分子と分母を$m!$で割ります。

$\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m+1 + \frac{1}{m!}}$

$m \to \infty$のとき、$\frac{1}{m!} \to 0$なので、

$\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m+1 + \frac{1}{m!}} = 0$

* **問題2-2:**

$3^n$でくくります。

$\lim_{n \to \infty} (1 + 2^n + 3^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (3^n ( \frac{1}{3^n} + (\frac{2}{3})^n + 1 ))^{\frac{1}{n}}$

$\lim_{n \to \infty} 3 ( \frac{1}{3^n} + (\frac{2}{3})^n + 1 )^{\frac{1}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{3^n} \to 0$、$(\frac{2}{3})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} 3 ( \frac{1}{3^n} + (\frac{2}{3})^n + 1 )^{\frac{1}{n}} = 3 \cdot (0 + 0 + 1)^0 = 3 \cdot 1 = 3$

* **問題2-3:**

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = a_1^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$a_3 = a_2^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

$a_4 = a_3^2 = (\frac{1}{16})^2 = \frac{1}{256}$

一般項は、$a_n = (\frac{1}{2})^{2^{n-1}}$で与えられます。

$n \to \infty$のとき、$2^{n-1} \to \infty$なので、$(\frac{1}{2})^{2^{n-1}} \to 0$

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

3. 最終的な答え

* 問題2-1(1): 7

* 問題2-1(2): 0

* 問題2-2: 3

* 問題2-3: 0