関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+4}}$ を微分して $y'$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、(2) $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+4}}$ の微分について解説します。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+4}}$ を微分して $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数を指数を使って書き換えます。

$y = \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}}$

次に、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}}$

対数の性質を用いて整理します。

$\ln y = \frac{1}{3} \ln \left(\frac{x+1}{x+4}\right)$

さらに、対数の性質 $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ を用いると、

$\ln y = \frac{1}{3} [\ln (x+1) - \ln (x+4)]$

両辺を $x$ について微分します。合成関数の微分法と対数関数の微分 $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left[\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}\right]$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{3} \left[\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}\right]$

$y = \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \left[\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}\right]$

括弧の中を通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \left[\frac{(x+4) - (x+1)}{(x+1)(x+4)}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \left[\frac{3}{(x+1)(x+4)}\right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{(x+1)(x+4)} \cdot \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x+1)(x+4)} \cdot \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{\frac{1}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x+1)(x+4)^{\frac{1}{3}}(x+4)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}(x+4)^{\frac{4}{3}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}(x+4)^{\frac{4}{3}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}(x+4)^{\frac{4}{3}}}$

または

$y' = \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}(x+4)^{\frac{4}{3}}}$