問題は、関数 $f(x) = x^2$ を $-1 \leq x \leq 1$ の範囲で数値微分し、その結果である $f'(x)$ を $f(x)$ および解析的な微分結果 $f'(x) = 2x$ とともにグラフに描くことです。$\Delta x$ は各自で適切に定める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = x^2$ を $-1 \leq x \leq 1$ の範囲で数値微分し、その結果である $f'(x)$ を $f(x)$ および解析的な微分結果 $f'(x) = 2x$ とともにグラフに描くことです。$\Delta x$ は各自で適切に定める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $\Delta x$ の値を決定します。例えば、$\Delta x = 0.05$ とします。

(2) $x$ の値を $-1$ から $1$ まで $\Delta x$ 刻みで変化させます。

(3) 各 $x$ に対して、$f(x) = x^2$ を計算します。

(4) 数値微分によって $f'(x)$ を計算します。例えば、前進差分近似を用いると、$f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ で近似できます。

中央差分近似を用いると、$f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x)}{2 \Delta x}$ で近似できます。

(5) 各 $x$ に対して、$f'(x) = 2x$ を計算します。

(6) $x$, $f(x)$, 数値微分による $f'(x)$, 解析的な $f'(x)$ の値を表計算ソフトに入力し、グラフを作成します。

例えば、$\Delta x = 0.05$ とし、中央差分近似を用いる場合、$x = -0.95$ における数値微分は以下のようになります。

$f(-0.95) = (-0.95)^2 = 0.9025$

$f(-0.95 + 0.05) = f(-0.9) = (-0.9)^2 = 0.81$

$f(-0.95 - 0.05) = f(-1) = (-1)^2 = 1$

$f'(-0.95) \approx \frac{f(-0.9) - f(-1)}{2(0.05)} = \frac{0.81 - 1}{0.1} = \frac{-0.19}{0.1} = -1.9$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、表計算ソフトで作成したグラフとなります。グラフは $x$、$f(x)$、$f'(x)$ (数値微分)、および $f'(x) = 2x$ を表示します。 具体的なグラフの形状は、選択した $\Delta x$ の値や数値微分の近似方法に依存します。

```

x f(x) = x^2 f'(x) (数値微分) f'(x) = 2x

-1 1 -2 -2

-0.95 0.9025 -1.9 -1.9

-0.9 0.81 -1.8 -1.8

-0.85 0.7225 -1.7 -1.7

... ... ... ...

```

上記のような表を作成し、これらの値をグラフにプロットすることで、問題の要求を満たすことができます。