次の2つの関数を微分せよ。 (1) $y = \sqrt[3]{x+1}$ (4) $y = \sqrt[3]{x^4} + \sqrt{x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分せよ。

(1) $y = \sqrt[3]{x+1}$

(4) $y = \sqrt[3]{x^4} + \sqrt{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt[3]{x+1}$ の微分

まず、$y = \sqrt[3]{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{3}}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = x+1$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{3}}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 1 = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}$

(4) $y = \sqrt[3]{x^4} + \sqrt{x}$ の微分

まず、$y = \sqrt[3]{x^4} + \sqrt{x} = x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

次に、それぞれの項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{4}{3}}) = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$