$a+b+c=0$のとき、$a^2 + ca = b^2 + bc$を証明する。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$のとき、$a^2 + ca = b^2 + bc$を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた条件$a+b+c=0$から、$c=-a-b$と表せる。この式を証明すべき等式の左辺と右辺に代入して、両辺が等しくなることを示す。

左辺:

$a^2 + ca = a^2 + (-a-b)a = a^2 - a^2 - ba = -ab$

右辺:

$b^2 + bc = b^2 + b(-a-b) = b^2 - ab - b^2 = -ab$

左辺と右辺が等しくなるので、$a^2 + ca = b^2 + bc$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a^2 + ca = b^2 + bc$