初項 $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、漸化式 $a_{n+1} = a_n^2 n^3$ を満たす数列 $\{a_n\}$ があるとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の極限を考察する問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、漸化式 $a_{n+1} = a_n^2 n^3$ を満たす数列 $\{a_n\}$ があるとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の極限を考察する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式から数列の具体的な値をいくつか計算してみます。

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = a_1^2 \cdot 1^3 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$a_3 = a_2^2 \cdot 2^3 = (\frac{1}{4})^2 \cdot 8 = \frac{1}{16} \cdot 8 = \frac{1}{2}$

$a_4 = a_3^2 \cdot 3^3 = (\frac{1}{2})^2 \cdot 27 = \frac{1}{4} \cdot 27 = \frac{27}{4}$

$a_4$の値が１を超えており、数列が急激に増加していくことが予想されます。

数列の一般項を求めることは難しそうなので、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の収束・発散を判定することを試みます。

$a_{n+1} = a_n^2 n^3$であるから、$\frac{a_{n+1}}{a_n} = a_n n^3$となります。

ここで、$n$が大きくなるにつれて、$a_n$も大きくなるので、ある$N$より大きい$n$に対して、$a_n n^3 > 1$となることが予想されます。このとき、$\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$となり、$a_{n+1} > a_n$となるので、$a_n$は単調増加となります。

数列$a_n$は単調増加で、$a_4 = \frac{27}{4} > 1$なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となります。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散します。

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する。