与えられた微分方程式 $ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1 $ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離形に書き換えることができます。

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{y+x}{x}$

ここで、$u = \frac{y}{x}$ とおくと、$y = ux$ となります。

この両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$

となります。

これを元の微分方程式に代入すると、

$u + x \frac{du}{dx} = u + 1$

$x \frac{du}{dx} = 1$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

両辺を $x$ で積分すると、

$\int du = \int \frac{1}{x} dx$

$u = \ln|x| + C$ (Cは積分定数)

ここで、$u = \frac{y}{x}$ を代入すると、

$\frac{y}{x} = \ln|x| + C$

したがって、

$y = x \ln|x| + Cx$

3. 最終的な答え

$y = x \ln|x| + Cx$