座標平面上の動点 $P(x, y)$ が曲線 $y = \cos x$ 上を一定の速さ $V$ で左から右に進むとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\frac{dx}{dt}$ を $x$ と $V$ で表す。 (2) 等式 $\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dt} \right)$ を用いて、$\frac{d^2 x}{dt^2}$ を $x$ と $V$ で表す。 (3) $\frac{d^2 y}{dt^2}$ を $x$ と $V$ で表す。 (4) 加速度ベクトル $\vec{a}$ の大きさの2乗 $|\vec{a}|^2$ を $x$ と $V$ で表し、 $|\vec{a}|^2$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の動点 $P(x, y)$ が曲線 $y = \cos x$ 上を一定の速さ $V$ で左から右に進むとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $\frac{dx}{dt}$ を $x$ と $V$ で表す。

(2) 等式 $\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dt} \right)$ を用いて、$\frac{d^2 x}{dt^2}$ を $x$ と $V$ で表す。

(3) $\frac{d^2 y}{dt^2}$ を $x$ と $V$ で表す。

(4) 加速度ベクトル $\vec{a}$ の大きさの2乗 $|\vec{a}|^2$ を $x$ と $V$ で表し、 $|\vec{a}|^2$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \cos x$ なので、$\frac{dy}{dt} = -\sin x \frac{dx}{dt}$。

速度ベクトル $\vec{v}$ の大きさは $V$ なので、

$V = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( -\sin x \frac{dx}{dt} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 (1 + \sin^2 x)} = \left| \frac{dx}{dt} \right| \sqrt{1 + \sin^2 x}$。

点 $P$ が左から右に進むので、$\frac{dx}{dt} > 0$ である。よって、$\left| \frac{dx}{dt} \right| = \frac{dx}{dt}$ である。

したがって、

$V = \frac{dx}{dt} \sqrt{1 + \sin^2 x}$。

よって、

$\frac{dx}{dt} = \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}}$。

(2)

$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dt} \right) = \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \frac{d}{dx} \left( \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \right)$。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \right) = V \frac{d}{dx} (1 + \sin^2 x)^{-1/2} = V \left( -\frac{1}{2} \right) (1 + \sin^2 x)^{-3/2} (2 \sin x \cos x) = -V \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^{3/2}}$。

よって、

$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \left( -V \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^{3/2}} \right) = -V^2 \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2}$。

(3)

$\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dt} \right) = \frac{d}{dt} \left( -\sin x \frac{dx}{dt} \right) = -\cos x \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 - \sin x \frac{d^2 x}{dt^2} = -\cos x \left( \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \right)^2 - \sin x \left( -V^2 \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} \right) = -\cos x \frac{V^2}{1 + \sin^2 x} + \frac{V^2 \sin^2 x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} = V^2 \cos x \left( -\frac{1}{1 + \sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{(1 + \sin^2 x)^2} \right) = V^2 \cos x \left( \frac{-(1 + \sin^2 x) + \sin^2 x}{(1 + \sin^2 x)^2} \right) = V^2 \cos x \left( \frac{-1}{(1 + \sin^2 x)^2} \right) = -V^2 \frac{\cos x}{(1 + \sin^2 x)^2}$。

(4)

$\vec{a} = \left( \frac{d^2 x}{dt^2}, \frac{d^2 y}{dt^2} \right)$ なので、

$|\vec{a}|^2 = \left( \frac{d^2 x}{dt^2} \right)^2 + \left( \frac{d^2 y}{dt^2} \right)^2 = \left( -V^2 \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} \right)^2 + \left( -V^2 \frac{\cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} \right)^2 = V^4 \frac{\sin^2 x \cos^2 x + \cos^2 x}{(1 + \sin^2 x)^4} = V^4 \frac{\cos^2 x (\sin^2 x + 1)}{(1 + \sin^2 x)^4} = V^4 \frac{\cos^2 x}{(1 + \sin^2 x)^3}$。

ここで、$\sin^2 x = u$ とおくと、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u$ となり、$0 \le u \le 1$。

$|\vec{a}|^2 = V^4 \frac{1 - u}{(1 + u)^3}$。

$f(u) = \frac{1 - u}{(1 + u)^3}$ とおくと、$f'(u) = \frac{-1(1+u)^3 - (1-u)3(1+u)^2}{(1+u)^6} = \frac{(1+u)^2[-(1+u) - 3(1-u)]}{(1+u)^6} = \frac{-1 - u - 3 + 3u}{(1+u)^4} = \frac{2u - 4}{(1+u)^4}$。

$f'(u) = 0$ とすると、 $2u - 4 = 0$ より $u = 2$ となるが、$0 \le u \le 1$ であるので不適。

$f'(u) < 0$ なので、 $f(u)$ は減少関数である。したがって、$u = 0$ のとき最大値をとる。

$u = 0$ すなわち $\sin x = 0$ のとき、 $|\vec{a}|^2 = V^4 \frac{1 - 0}{(1 + 0)^3} = V^4$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dx}{dt} = \frac{V}{\sqrt{1 + \sin^2 x}}$

(2) $\frac{d^2 x}{dt^2} = -V^2 \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2}$

(3) $\frac{d^2 y}{dt^2} = -V^2 \frac{\cos x}{(1 + \sin^2 x)^2}$

(4) $|\vec{a}|^2$ の最大値は $V^4$。