与えられた6つの分数式の計算問題を解きます。各問題は分数式の足し算または引き算です。

はい、承知いたしました。問題集の15番の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた6つの分数式の計算問題を解きます。各問題は分数式の足し算または引き算です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに、以下の手順で計算します。

(1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2}$

* 通分します：分母を$(x-1)(x+2)$に合わせます。

* 分子を計算します：$(x+2) + (x-1)$

* 式を整理します：$\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}$

(2) $\frac{1}{3x} - \frac{1}{3x+1}$

* 通分します：分母を$3x(3x+1)$に合わせます。

* 分子を計算します：$(3x+1) - (3x)$

* 式を整理します：$\frac{1}{3x(3x+1)}$

(3) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x(x-1)}$

* 通分します：分母を$x(x-1)$に合わせます。

* 分子を計算します：$x - 1$

* 式を整理します：$\frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x}$

(4) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x^2+x}$

* $x^2+x$を因数分解します：$x(x+1)$

* 通分します：分母を$x(x+1)$に合わせます。

* 分子を計算します：$2x + 3$

* 式を整理します：$\frac{2x+3}{x(x+1)}$

(5) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-2x-3}$

* $x^2-2x-3$を因数分解します：$(x+1)(x-3)$

* 通分します：分母を$(x+1)(x-3)$に合わせます。

* 分子を計算します：$x(x-3) + (3x-1) = x^2 - 3x + 3x - 1 = x^2 - 1$

* 式を整理します：$\frac{x^2-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x-1}{x-3}$

(6) $\frac{x+4}{x^2-2x} - \frac{3}{x^2-3x+2}$

* $x^2-2x$を因数分解します：$x(x-2)$

* $x^2-3x+2$を因数分解します：$(x-1)(x-2)$

* 通分します：分母を$x(x-1)(x-2)$に合わせます。

* 分子を計算します：$(x+4)(x-1) - 3x = x^2 + 3x - 4 - 3x = x^2 - 4$

* 式を整理します：$\frac{x^2-4}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{x+2}{x(x-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}$

(2) $\frac{1}{3x(3x+1)}$

(3) $\frac{1}{x}$

(4) $\frac{2x+3}{x(x+1)}$

(5) $\frac{x-1}{x-3}$

(6) $\frac{x+2}{x(x-1)}$