問題は、与えられた関数を簡単化することです。特に、問題(5)と問題(6)について回答します。 問題(5): $y = \frac{x^2 + x + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}$ 問題(6): $y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数を簡単化することです。特に、問題(5)と問題(6)について回答します。

問題(5): $y = \frac{x^2 + x + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}$

問題(6): $y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

2. 解き方の手順

問題(5): $y = \frac{x^2 + x + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}$ を簡単化する。

まず、$x\sqrt{x}$ を $x^{3/2}$ と書き換えます。

$y = \frac{x^2 + x + \sqrt{x}}{x^{3/2}}$

分子の各項を $x^{3/2}$ で割ります。

$y = \frac{x^2}{x^{3/2}} + \frac{x}{x^{3/2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{3/2}}$

$y = x^{2 - 3/2} + x^{1 - 3/2} + x^{1/2 - 3/2}$

$y = x^{1/2} + x^{-1/2} + x^{-1}$

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

問題(6): $y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$ を簡単化する。

分子と分母が同じであるため、$x$ が $\sqrt{x} + 1 \neq 0$ を満たすとき、この分数は1に簡単化されます。

ただし、$\sqrt{x}$ の定義域から $x \geq 0$ である必要があります。

$\sqrt{x} + 1$ は常に正なので、$x\ge 0$ の範囲で常に定義でき、1に簡単化できます。

3. 最終的な答え

問題(5): $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

問題(6): $y = 1$