与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は

$\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$

です。

2. 解き方の手順

(1) $v = x+y$ と変数変換します。すると、$y = v-x$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ が得られます。

(2) 与えられた微分方程式に代入すると、

$\frac{dv}{dx} - 1 = v^2$

$\frac{dv}{dx} = v^2 + 1$

となります。

(3) 変数分離を行います。

$\frac{dv}{v^2 + 1} = dx$

(4) 両辺を積分します。

$\int \frac{dv}{v^2 + 1} = \int dx$

左辺の積分は $\arctan(v)$ となります。右辺の積分は $x + C$ となります。よって、

$\arctan(v) = x + C$

(5) $v$ を $x+y$ に戻します。

$\arctan(x+y) = x + C$

(6) $x+y$ について解きます。

$x+y = \tan(x+C)$

$y = \tan(x+C) - x$

3. 最終的な答え

$y = \tan(x+C) - x$