与えられた式 $\frac{a}{ab+b^2} - \frac{b}{a^2+ab}$ を簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{a}{ab+b^2} - \frac{b}{a^2+ab}$ を簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を因数分解します。

$ab+b^2 = b(a+b)$

$a^2+ab = a(a+b)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{a}{b(a+b)} - \frac{b}{a(a+b)}$

次に、分母をそろえるために通分します。共通の分母は $ab(a+b)$ となります。

$\frac{a}{b(a+b)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{b}{a(a+b)} \cdot \frac{b}{b} = \frac{a^2}{ab(a+b)} - \frac{b^2}{ab(a+b)}$

次に、分子を計算します。

$\frac{a^2-b^2}{ab(a+b)}$

分子を因数分解します。

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a+b)}$

最後に、共通因子 $a+b$ をキャンセルします。 ($a+b \neq 0$を仮定)

$\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a+b)} = \frac{a-b}{ab}$

3. 最終的な答え

$\frac{a-b}{ab}$