与えられた微分方程式 $y(1+xy) + x(1-xy)\frac{dy}{dx} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y(1+xy) + x(1-xy)\frac{dy}{dx} = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は

$y(1+xy) + x(1-xy)\frac{dy}{dx} = 0$

変形すると

$y + xy^2 + x\frac{dy}{dx} - x^2y\frac{dy}{dx} = 0$

$y + x\frac{dy}{dx} + xy^2 - x^2y\frac{dy}{dx} = 0$

$y + x\frac{dy}{dx} + xy(y - x\frac{dy}{dx}) = 0$

この微分方程式は完全微分方程式の形をしているかどうか確認する。

$M(x,y) = y(1+xy) = y + xy^2$

$N(x,y) = x(1-xy) = x - x^2y$

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2xy$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - 2xy$

$\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ であるので、完全微分方程式ではない。

変数分離を試みる。

$(y + xy^2)dx + (x - x^2y)dy = 0$

$y(1+xy)dx + x(1-xy)dy = 0$

$\frac{1+xy}{x}dx + \frac{1-xy}{y}dy = 0$

$(\frac{1}{x} + y)dx + (\frac{1}{y} - x)dy = 0$

$\frac{1}{x}dx + ydx + \frac{1}{y}dy - xdy = 0$

$\frac{1}{x}dx + \frac{1}{y}dy + (ydx - xdy) = 0$

$\frac{1}{x}dx + \frac{1}{y}dy - (xdy - ydx) = 0$

$\int \frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{y}dy - \int \frac{xdy - ydx}{x^2}x^2=0$

$\int \frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{y}dy - \int d(\frac{y}{x}) x^2=0$

両辺を$x^2$で割って

$\frac{xdy - ydx}{x^2} = d(-\frac{y}{x})$

$\frac{dx}{x} + \frac{dy}{y} + \frac{ydx - xdy}{x^2} = 0$

$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{dy}{y} - \int d(\frac{y}{x}) = 0$

$\ln |x| + \ln |y| - \frac{y}{x} = C$

$\ln |xy| - \frac{y}{x} = C$

3. 最終的な答え

$\ln |xy| - \frac{y}{x} = C$