初項が $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、漸化式が $a_{n+1} = (a_n)^2$ である数列 $\{a_n\}$ について、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の極限、すなわち和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、漸化式が $a_{n+1} = (a_n)^2$ である数列 $\{a_n\}$ について、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の極限、すなわち和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$a_3 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

$a_4 = (\frac{1}{16})^2 = \frac{1}{256}$

などから、$a_n = (\frac{1}{2})^{2^{n-1}}$ と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = (\frac{1}{2})^{2^{1-1}} = (\frac{1}{2})^{2^0} = \frac{1}{2}$ であり、成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = (\frac{1}{2})^{2^{k-1}}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = (a_k)^2 = ((\frac{1}{2})^{2^{k-1}})^2 = (\frac{1}{2})^{2 \cdot 2^{k-1}} = (\frac{1}{2})^{2^k}$

よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、$a_n = (\frac{1}{2})^{2^{n-1}}$ がすべての自然数 $n$ に対して成り立つ。

次に、無限級数の和を求めます。

$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2^{n-1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256} + \cdots$

この級数は、閉じた形で表すことは難しいと思われます。数値計算をすると、

$S \approx 0.7834305096...$

しかし、$a_{n+1} = (a_n)^2$より、

$\sum_{n=1}^\infty a_n=\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}+\cdots < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} =1$

なので、収束する。

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2^{n-1}} \approx 0.7834305096...$

(級数は収束するが、簡単な式で表すことはできない)