ボーアの原子模型における、電子の運動方程式、エネルギー準位に関する問題です。 与えられた式を元に、電子の全エネルギー $E$ と、量子数 $n$ を考慮したエネルギー準位 $E_n$ を導出します。

1. 問題の内容

ボーアの原子模型における、電子の運動方程式、エネルギー準位に関する問題です。

与えられた式を元に、電子の全エネルギー $E$ と、量子数 $n$ を考慮したエネルギー準位 $E_n$ を導出します。

2. 解き方の手順

まず、電子の全エネルギー $E$ を求めます。

問題文中に、

$E = \frac{1}{2}mv^2 - k\frac{e^2}{r}$

という式があります。

また、電子の運動方程式より、

$m\frac{v^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}$

なので、

$mv^2 = k\frac{e^2}{r}$

が成り立ちます。

これらを $E$ の式に代入すると、

$E = \frac{1}{2}k\frac{e^2}{r} - k\frac{e^2}{r} = -\frac{1}{2}k\frac{e^2}{r}$

となります。

次に、エネルギー準位 $E_n$ を求めます。

問題文中に、電子の軌道半径が

$r = \frac{h^2}{4\pi^2mke^2}n^2$

と与えられています。

これを先程求めた $E$ の式に代入すると、

$E_n = -\frac{1}{2}k\frac{e^2}{\frac{h^2}{4\pi^2mke^2}n^2} = -\frac{2\pi^2mk^2e^4}{h^2}\frac{1}{n^2}$

となります。

3. 最終的な答え

電子の全エネルギーは

$E = -\frac{1}{2}k\frac{e^2}{r}$

エネルギー準位は

$E_n = -\frac{2\pi^2mk^2e^4}{h^2}\frac{1}{n^2}$