水素原子における、電子の円運動、軌道半径、エネルギー準位に関する問題です。与えられた式を使い、いくつかの空欄を埋める必要があります。具体的には、電子の速度 $v$、軌道半径 $r$、エネルギー $E$、エネルギー準位 $E_n$ を求めることが求められています。

1. 問題の内容

水素原子における、電子の円運動、軌道半径、エネルギー準位に関する問題です。与えられた式を使い、いくつかの空欄を埋める必要があります。具体的には、電子の速度 $v$、軌道半径 $r$、エネルギー $E$、エネルギー準位 $E_n$ を求めることが求められています。

2. 解き方の手順

(1) 量子条件 $2\pi r = n \lambda = n \frac{h}{mv}$ より、$v$ を求めます。

$v = \frac{nh}{2\pi mr}$

(2) 電子の運動方程式 $m \frac{v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2}$ に (1) の結果を代入します。

$m \left( \frac{nh}{2\pi mr} \right)^2 = k \frac{e^2}{r^2}$

$m \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$

$\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m r} = ke^2$

$r = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 mke^2}$

(3) エネルギー $E$ を求めます。与えられた式 $E = \frac{1}{2} mv^2 - k \frac{e^2}{r}$ と、電子の運動方程式 $m v^2 = k \frac{e^2}{r}$ より、

$E = \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r} - k \frac{e^2}{r} = - \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}$

(4) 電子の軌道半径 $r = \frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} n^2$ を、$E$ の式に代入します。

$E_n = - \frac{1}{2} k e^2 \frac{4 \pi^2 mke^2}{h^2 n^2} = - \frac{2 \pi^2 mk^2 e^4}{h^2 n^2}$

3. 最終的な答え

- $m \frac{v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2}$

- $v = \frac{nh}{2\pi mr}$

- $r = \frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} n^2$

- $E = - \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}$

- $E_n = - \frac{2 \pi^2 mk^2 e^4}{h^2 n^2}$