ボーアの原子模型における電子の円運動の半径を求める問題です。量子条件と電子の運動方程式から、電子の円運動半径 $r$ を $n=1$ の場合に計算し、ボーア半径を求めます。

1. 問題の内容

ボーアの原子模型における電子の円運動の半径を求める問題です。量子条件と電子の運動方程式から、電子の円運動半径 $r$ を $n=1$ の場合に計算し、ボーア半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 量子条件より、$2\pi r = n\lambda = n \frac{h}{mv}$ が与えられているので、電子の速度 $v$ は、$v = \frac{nh}{2\pi mr}$ となります。

(2) 電子の運動方程式の中心方向成分（遠心力 = クーロン力）は、$m \frac{v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2}$ で与えられます（ただし、k=1と書かれている箇所を$k \frac{e^2}{r^2}$と解釈します）。

(3) (1) で求めた $v$ を (2) の運動方程式に代入します。

$m \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}$

$m \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \frac{1}{r} = k\frac{e^2}{r^2}$

$\frac{m n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^3} = k\frac{e^2}{r^2}$

(4) $r$ について整理します。

$r = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m k e^2}$

(5) $n=1$ のとき、$r$ はボーア半径 $a_0$ となります。

$a_0 = \frac{h^2}{4\pi^2 m k e^2}$

(6) 問題文に与えられている値から、

$\frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} = 5.3 \times 10^{-11} [m]$

したがって、$n=1$ のとき、$r = 5.3 \times 10^{-11} [m]$

3. 最終的な答え

n=1のとき r = 5.3 x 10^-11 [m] (ボーア半径)