電子の速度 $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ を電子の運動方程式 $m\frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}$ に代入して、電子の軌道半径 $r$ について整理すると、$\frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} \times \text{?} = r$ となる。ここで、?に入る式を求める問題です。

1. 問題の内容

電子の速度 $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ を電子の運動方程式 $m\frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}$ に代入して、電子の軌道半径 $r$ について整理すると、$\frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} \times \text{?} = r$ となる。ここで、?に入る式を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた運動方程式を変形して、$r$ について解きます。

まず、運動方程式は次の通りです。

$m\frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}$

左辺を整理します。

$m \frac{(nh)^2}{(2\pi mr)^2} \frac{1}{r} = m \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \frac{1}{r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3}$

よって、

$\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} = k\frac{e^2}{r^2}$

両辺に $r^3$ をかけます。

$\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m} = k e^2 r$

両辺を $ke^2$ で割ります。

$r = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 mke^2} = \frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} n^2$

問題文に与えられた式 $\frac{h^2}{4\pi^2 mke^2} \times \text{?} = r$ と比較すると、? は $n^2$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$n^2$