ベクトル場 $F(r)$ に関する積分定理で、ガウスの発散定理とストークスの回転定理はどれか、選択肢の中から２つ選びます。

1. 問題の内容

ベクトル場 $F(r)$ に関する積分定理で、ガウスの発散定理とストークスの回転定理はどれか、選択肢の中から２つ選びます。

2. 解き方の手順

ガウスの発散定理とストークスの定理を確認します。

- ガウスの発散定理：体積 $V$ を囲む閉曲面 $S$ に対して、

$\int_S F \cdot dS = \int_V (\nabla \cdot F) d^3r$

- ストークスの定理：曲面 $S$ の境界である閉曲線 $C$ に対して、

$\oint_C F \cdot dr = \int_S (\nabla \times F) \cdot dS$

選択肢を確認します。

1. $\oint_S dS \cdot F(r) = \int_V d^3r \nabla \times F(r)$ ：誤り。右辺はrot $F$ の体積積分になっているため、発散定理と整合性がありません。

2. $\oint_S dS \cdot F(r) = \int_V d^3r \nabla \cdot F(r)$ ：正しい。ガウスの発散定理そのものです。

3. $\oint_C dr \cdot F(r) = \int_V d^3r \nabla \cdot F(r)$ ：誤り。左辺は線積分で、右辺は発散の体積積分なので、ストークスの定理と整合性がありません。

4. $\oint_C dr \cdot F(r) = \int_V d^3r \nabla \times F(r)$ ：誤り。左辺は線積分ですが、右辺はrot $F$ の体積積分なので、ストークスの定理と整合性がありません。

5. $\oint_C dr \cdot F(r) = \int_S dS \cdot (\nabla \times F(r))$ ：正しい。ストークスの定理そのものです。

3. 最終的な答え

2と5が正解です。