与えられた関数 $y$ を微分する問題です。具体的には以下の2つの関数について微分を求めます。 (3) $y = \frac{1}{x^4}$ (4) $y = \frac{1}{1+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を微分する問題です。具体的には以下の2つの関数について微分を求めます。

(3) $y = \frac{1}{x^4}$

(4) $y = \frac{1}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(3) の関数について：

まず、$y$ を $x$ の負の指数として書き換えます。

$y = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$

次に、べき乗の微分ルール（$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = -4x^{-4-1} = -4x^{-5}$

最後に、負の指数を分数の形に戻します。

$\frac{dy}{dx} = -4 \frac{1}{x^5} = -\frac{4}{x^5}$

(4) の関数について：

$y$ を $u(x)$ の逆数、つまり $y = \frac{1}{u(x)}$ と見なします。ここで $u(x) = 1 + x^2$ です。

逆関数の微分ルール（$\frac{d}{dx} \frac{1}{u(x)} = -\frac{u'(x)}{(u(x))^2}$）を適用します。

$u(x) = 1 + x^2$ の導関数は $u'(x) = 2x$ です。

したがって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$となります。

3. 最終的な答え

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^5}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$