次の4つの関数の導関数を求めます。 (1) $y = \sin(2x + 3)$ (2) $y = \cos^2 x$ (3) $y = \cot 3x$ (4) $y = \frac{\sin x}{2 + \sin x}$

1. 問題の内容

次の4つの関数の導関数を求めます。

(1) $y = \sin(2x + 3)$

(2) $y = \cos^2 x$

(3) $y = \cot 3x$

(4) $y = \frac{\sin x}{2 + \sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin(2x + 3)$

合成関数の微分法を用いる。$u = 2x + 3$ とすると、$y = \sin u$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = (\cos u) \cdot 2 = 2 \cos (2x + 3)$

(2) $y = \cos^2 x$

$y = (\cos x)^2$と考える。合成関数の微分法を用いる。

$u = \cos x$ とすると、$y = u^2$である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (-\sin x) = 2 (\cos x) \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x = -\sin 2x$

(3) $y = \cot 3x$

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であるから、$\cot x$の微分は $-\frac{1}{\sin^2 x}$となる。合成関数の微分法を用いる。$u = 3x$とすると、$y = \cot u$である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sin^2 u}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot 3 = -\frac{3}{\sin^2 3x} = -3 \csc^2 3x$

(4) $y = \frac{\sin x}{2 + \sin x}$

商の微分法を用いる。

$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ のとき、$y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$f(x) = \sin x$ より $f'(x) = \cos x$

$g(x) = 2 + \sin x$ より $g'(x) = \cos x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\cos x)(2 + \sin x) - (\sin x)(\cos x)}{(2 + \sin x)^2} = \frac{2 \cos x + \sin x \cos x - \sin x \cos x}{(2 + \sin x)^2} = \frac{2 \cos x}{(2 + \sin x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $2 \cos (2x + 3)$

(2) $-\sin 2x$

(3) $-3 \csc^2 3x$

(4) $\frac{2 \cos x}{(2 + \sin x)^2}$