与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について導関数を求めます。 (1) $y = x^x$ ($x > 0$) (2) $y = x^{\cos x}$ ($x > 0$) (3) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$) (4) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について導関数を求めます。

(1) $y = x^x$ ($x > 0$)

(2) $y = x^{\cos x}$ ($x > 0$)

(3) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$)

(4) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ の場合

両辺の自然対数をとると

$\log y = \log(x^x) = x \log x$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

よって

$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

(2) $y = x^{\cos x}$ の場合

両辺の自然対数をとると

$\log y = \log(x^{\cos x}) = \cos x \log x$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

よって

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right) = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(3) $y = (\log x)^x$ の場合

両辺の自然対数をとると

$\log y = \log((\log x)^x) = x \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$

よって

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right) = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

(4) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$ の場合

両辺の自然対数をとると

$\log y = \log \left( \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \right) = 2 \log(x+1) - 3 \log(x+2) - 4 \log(x+3)$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3}$

よって

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right) = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \cdot \frac{2(x+2)(x+3) - 3(x+1)(x+3) - 4(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \cdot \frac{2(x^2+5x+6) - 3(x^2+4x+3) - 4(x^2+3x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \cdot \frac{2x^2+10x+12 - 3x^2-12x-9 - 4x^2-12x-8}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \cdot \frac{-5x^2 - 14x - 5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{(x+1)(-5x^2-14x-5)}{(x+2)^4(x+3)^5} = \frac{-(x+1)(5x^2+14x+5)}{(x+2)^4(x+3)^5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-(x+1)(5x^2+14x+5)}{(x+2)^4(x+3)^5}$