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$a - b - 2c = 1$ かつ $ab - 2bc + 2ca = 10$ のとき、$a^2 + b^2 + 4c^2$ の値を求める。

代数学式の計算連立方程式展開2次式
2025/5/8

1. 問題の内容

a−b−2c=1a - b - 2c = 1 かつ ab−2bc+2ca=10ab - 2bc + 2ca = 10 のとき、a2+b2+4c2a^2 + b^2 + 4c^2 の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、(a−b−2c)2(a - b - 2c)^2 を展開する。
(a−b−2c)2=a2+b2+4c2−2ab+4bc−4ca(a - b - 2c)^2 = a^2 + b^2 + 4c^2 - 2ab + 4bc - 4ca
問題文より、a−b−2c=1a - b - 2c = 1 なので、
(a−b−2c)2=12=1(a - b - 2c)^2 = 1^2 = 1
a2+b2+4c2−2ab+4bc−4ca=1a^2 + b^2 + 4c^2 - 2ab + 4bc - 4ca = 1
次に、ab−2bc+2ca=10ab - 2bc + 2ca = 10 を −2-2 倍する。
−2(ab−2bc+2ca)=−2(10)-2(ab - 2bc + 2ca) = -2(10)
−2ab+4bc−4ca=−20-2ab + 4bc - 4ca = -20
上記の2つの式から、a2+b2+4c2a^2 + b^2 + 4c^2 を求める。
a2+b2+4c2−2ab+4bc−4ca=1a^2 + b^2 + 4c^2 - 2ab + 4bc - 4ca = 1
−2ab+4bc−4ca=−20-2ab + 4bc - 4ca = -20
a2+b2+4c2=1+2ab−4bc+4caa^2 + b^2 + 4c^2 = 1 + 2ab - 4bc + 4ca
a2+b2+4c2=1−(−20)a^2 + b^2 + 4c^2 = 1 - (-20)
a2+b2+4c2=1+20a^2 + b^2 + 4c^2 = 1 + 20
a2+b2+4c2=21a^2 + b^2 + 4c^2 = 21

3. 最終的な答え

21

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