与えられた式 $a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理します。

$a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、式を整理して、共通因数を見つけやすいように並べ替えます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc = ab^2 + ba^2 + ac^2 + ca^2 + bc^2 + cb^2 + 2abc$

式を以下のように因数分解します。

$ab^2 + ba^2 + ac^2 + ca^2 + bc^2 + cb^2 + 2abc = ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + 2abc$

$= ab(a+b) + c(ac + bc + a^2 + ab + b^2 + ab) + 2abc$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

ここで、$a$ について整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

次に、$(b+c)$ を共通因数としてくくりだします。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

$= (b+c)[a^2 + ba + ca + bc]$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$