問題文は「aとbがともに整数であることは、$a+b$と$ab$がともに整数であるための(ア)」。 (ア)に当てはまる選択肢を選ぶ問題。選択肢はイです。

1. 問題の内容

問題文は「aとbがともに整数であることは、$a+b$と$ab$がともに整数であるための(ア)」。 (ア)に当てはまる選択肢を選ぶ問題。選択肢はイです。

2. 解き方の手順

$a$と$b$がともに整数であるとき、$a+b$も$ab$も必ず整数になります。つまり、$a$と$b$がともに整数であることは、$a+b$と$ab$がともに整数であるための十分条件です。

逆に、$a+b$と$ab$がともに整数であるとき、$a$と$b$が必ずしも整数とは限りません。例えば、$a = 1 + \sqrt{2}$、$b = 1 - \sqrt{2}$とすると、$a+b = 2$、$ab = 1 - 2 = -1$となり、$a+b$と$ab$はともに整数ですが、$a$と$b$は整数ではありません。つまり、$a+b$と$ab$がともに整数であることは、$a$と$b$がともに整数であるための必要条件ではありません。

したがって、$a$と$b$がともに整数であることは、$a+b$と$ab$がともに整数であるための十分条件であるが、必要条件ではありません。これは十分条件であると言えます。問題文には集合とあるので、集合における条件を当てはめる必要があり、正しくは必要条件、十分条件、必要十分条件、どれでもない、のいずれかを答えるべきですが、選択肢に該当するものがありません。

しかし、画像には選択肢の枠に「イ」と書かれていること、また問題文の構造から、これは「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「どれでもない」のいずれかを選ぶ問題であると推測できます。

$a, b$ がともに整数ならば、$a + b$ と $ab$ はともに整数です。これは、$a, b$ が整数であるという条件が、$a + b$ と $ab$ が整数であるための十分条件であることを意味します。

逆に、$a + b$ と $ab$ がともに整数であっても、$a, b$ がともに整数であるとは限りません。例えば、$a = 1/2$, $b = 1/2$ とすると、$a + b = 1$、$ab = 1/4$ となり、$ab$が整数にならないので条件を満たしません。$a = 1 + \sqrt{2}$, $b = 1 - \sqrt{2}$とすると、$a + b = 2$、$ab = 1 - 2 = -1$となり、$a + b$ と $ab$ はともに整数ですが、$a, b$ は整数ではありません。これは、$a + b$ と $ab$ が整数であるという条件が、$a, b$ が整数であるための必要条件ではないことを意味します。

したがって、(ア) には「十分」が当てはまります。選択肢イが「十分条件」に対応していれば、イが正解となります。

3. 最終的な答え

イ