この問題は、何人かの人をいくつかの部屋に分ける場合の数を求める問題です。人数や部屋数、条件によって場合の数が異なります。 (1) 7人を2つの部屋A,Bに分ける。 (i) 部屋Aに3人、部屋Bに4人となるような分け方は何通りか。 (ii) どの部屋も1人以上になる分け方は何通りか。そのうち、部屋Aの人数が奇数である分け方は何通りか。 (2) 4人を3つの部屋A,B,Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方は何通りか。 (3) 大人4人、子ども3人の計7人を3つの部屋A,B,Cに分ける。 (i) どの部屋も大人が1人以上になる分け方は何通りか。そのうち、3つの部屋に子ども3人が1人ずつ入る分け方は何通りか。 (ii) どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は何通りか。

1. 問題の内容

この問題は、何人かの人をいくつかの部屋に分ける場合の数を求める問題です。人数や部屋数、条件によって場合の数が異なります。

(1) 7人を2つの部屋A,Bに分ける。

(i) 部屋Aに3人、部屋Bに4人となるような分け方は何通りか。

(ii) どの部屋も1人以上になる分け方は何通りか。そのうち、部屋Aの人数が奇数である分け方は何通りか。

(2) 4人を3つの部屋A,B,Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方は何通りか。

(3) 大人4人、子ども3人の計7人を3つの部屋A,B,Cに分ける。

(i) どの部屋も大人が1人以上になる分け方は何通りか。そのうち、3つの部屋に子ども3人が1人ずつ入る分け方は何通りか。

(ii) どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) (i) 部屋Aに3人、部屋Bに4人となる分け方は、7人の中から部屋Aに入れる3人を選ぶ組み合わせの数です。これは $\binom{7}{3}$ で計算できます。

$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(1) (ii) どの部屋も1人以上になる分け方は、7人を部屋Aに入れる人数が1人から6人までの場合を考えます。7人を部屋Aに入れる人数を$k$とすると、部屋Bには$7-k$人が入ります。$k$は1から6までの整数をとります。部屋Aに$k$人を入れる場合の数は$\binom{7}{k}$です。

$\sum_{k=1}^{6} \binom{7}{k} = \binom{7}{1} + \binom{7}{2} + \binom{7}{3} + \binom{7}{4} + \binom{7}{5} + \binom{7}{6}$

$= 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 = 126$

部屋Aの人数が奇数である場合、$k$は1,3,5のいずれかです。

$\binom{7}{1} + \binom{7}{3} + \binom{7}{5} = 7 + 35 + 21 = 63$

(2) 4人を3つの部屋A,B,Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方は、(1,1,2)の組み合わせです。

(1,1,2)の組み合わせになる人を決める方法は、4人から2人を選ぶ$\binom{4}{2}$通り。残りの2人から1人ずつ選ぶので、並び順を考慮すると、$\binom{4}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 6$となる組み合わせについて、部屋A,B,Cの割り当て方があるので$3!/2! = 3$通りの割り当て方があり、$6 \times 3 = 36/2 = 6 \times 3 / (2\times 1) \times 2! = 12$

(1,1,2)の分け方は${4 \choose 2} = 6$通り。残りの2人をそれぞれ1人ずつ分けるしかない。

部屋の区別を考えると(1,1,2)となる分け方は4!/(1!1!2!) = 12通り

部屋に区別がない場合は (1,1,2)のみ。

1, 1, 2 となる場合の数は 4! / (2! 1! 1!) = 12通り。

(3) (i) 大人4人を3つの部屋に入れる分け方は、各部屋に少なくとも1人入るようにします。分け方は (2,1,1)の組み合わせのみ。

大人の分け方：$\binom{4}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} \times \frac{1}{2!} \times 3! = 6 \times 2 \times 1 \times 3 = 36$通り

子供3人の分け方：子供の分け方は、各部屋に1人ずつ入れるしかないので、3! = 6通り。

36 * 6 = 216

子供を各部屋に1人ずつ入れる場合、大人の分け方は、(1,1,2)の組み合わせ。大人の分け方は12通り。

子供の分け方は3! = 6通り。

12 * 6 = 72

(3) (ii) 大人が各部屋に1人以上で、各部屋に2人以上になる場合、大人の分け方は(2,1,1)の組み合わせしかないので、子供の分け方は(0,1,2)または(0,2,1)の組み合わせとなる。しかし、各部屋2人以上という条件があるので、あり得ない。

3. 最終的な答え

(1) (i) アイ: 35

(1) (ii) ウエオ: 126, カキ: 63

(2) クケ: 6

(3) (i) コサシ: 36, スセソ: 6

(3) (ii) タチツ: 0