集合 $A = \{n | n \in \mathbb{N}, 1 < n < 7\}$、集合 $B = \{2n+1 | n \in \mathbb{Z}, -2 \leq n \leq 2\}$ が与えられている。全体集合が $U = \{n | n \in \mathbb{Z}, -3 \leq n \leq 6\}$ であるとき、以下の集合の要素を全て求めよ。 (1) $A$ (2) $B$ (3) $A^c$ (4) $B^c$ (5) $A \cup B$ (6) $A \cap B$ (7) $A^c \cap B^c$ (8) $A^c \cup B^c$ (9) $A \cap B^c$

1. 問題の内容

集合 $A = \{n | n \in \mathbb{N}, 1 < n < 7\}$、集合 $B = \{2n+1 | n \in \mathbb{Z}, -2 \leq n \leq 2\}$ が与えられている。全体集合が $U = \{n | n \in \mathbb{Z}, -3 \leq n \leq 6\}$ であるとき、以下の集合の要素を全て求めよ。

(1) $A$

(2) $B$

(3) $A^c$

(4) $B^c$

(5) $A \cup B$

(6) $A \cap B$

(7) $A^c \cap B^c$

(8) $A^c \cup B^c$

(9) $A \cap B^c$

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$, $B$, $U$ の要素を具体的に書き出す。

$A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

$B = \{2(-2)+1, 2(-1)+1, 2(0)+1, 2(1)+1, 2(2)+1\} = \{-3, -1, 1, 3, 5\}$

$U = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

次に、それぞれの集合演算を行う。

(1) $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

(2) $B = \{-3, -1, 1, 3, 5\}$

(3) $A^c = U - A = \{-3, -2, -1, 0, 1\}$

(4) $B^c = U - B = \{-2, 0, 2, 4, 6\}$

(5) $A \cup B = \{-3, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap B = \{3, 5\}$

(7) $A^c \cap B^c = \{-3, -2, -1, 0, 1\} \cap \{-2, 0, 2, 4, 6\} = \{-2, 0\}$

(8) $A^c \cup B^c = \{-3, -2, -1, 0, 1\} \cup \{-2, 0, 2, 4, 6\} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6\}$

(9) $A \cap B^c = \{2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{-2, 0, 2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

(2) $B = \{-3, -1, 1, 3, 5\}$

(3) $A^c = \{-3, -2, -1, 0, 1\}$

(4) $B^c = \{-2, 0, 2, 4, 6\}$

(5) $A \cup B = \{-3, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap B = \{3, 5\}$

(7) $A^c \cap B^c = \{-2, 0\}$

(8) $A^c \cup B^c = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6\}$

(9) $A \cap B^c = \{2, 4, 6\}$