全体集合を1桁の自然数とし、$A = \{2x | 1 \le x \le 4, x \text{は自然数}\}$、$B = \{y | y \text{は6の正の約数}\}$と定める。次の集合を求めよ。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合を1桁の自然数とし、$A = \{2x | 1 \le x \le 4, x \text{は自然数}\}$、$B = \{y | y \text{は6の正の約数}\}$と定める。次の集合を求めよ。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、集合$A$と$B$の要素を具体的に書き出す。

$A = \{2 \times 1, 2 \times 2, 2 \times 3, 2 \times 4\} = \{2, 4, 6, 8\}$

6の正の約数は1, 2, 3, 6なので、$B = \{1, 2, 3, 6\}$

全体集合$U$は1桁の自然数なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$U$ から $A$ の要素を除いたもの。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素。

$A \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分。まず$\overline{B}$を求める。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 6\} = \{4, 5, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{4, 5, 7, 8, 9\} = \{5, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分。

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{4, 5, 7, 8, 9\} = \{4, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $A \cap B = \{2, 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{4, 8\}$