問題は以下の2つです。 (1) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 の 7 個の数字すべてを使って作れる 7 桁の整数は何個あるか。 (2) monotone という単語の 8 個の文字すべてを使って作れる文字列は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 の 7 個の数字すべてを使って作れる 7 桁の整数は何個あるか。

(2) monotone という単語の 8 個の文字すべてを使って作れる文字列は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 同じものを含む順列の問題です。

7 桁の数字を並べる場合の総数は $7!$ ですが、同じ数字が複数あるため、それらの並び替えで重複して数えてしまいます。

1 が 3 個、2 が 2 個、3 が 2 個あるので、それぞれの並び替えの数 $3!$, $2!$, $2!$ で割る必要があります。

したがって、求める整数の個数は

$\frac{7!}{3!2!2!}$

で計算できます。

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 6}{6 \times 2 \times 2} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

(2) こちらも同じものを含む順列の問題です。

monotone という単語は 8 文字で、o が 2 個、n が 2 個、t が 1 個、m が 1 個、e が 1 個 です。

8 文字を並べる場合の総数は $8!$ ですが、同じ文字 o と n がそれぞれ 2 個ずつあるため、それらの並び替えで重複して数えてしまいます。

したがって、求める文字列の個数は

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{4} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 2 = 10080$通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 210 個

(2) 10080 通り