与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について和を求めます。 (1) $1, 5, 5^2, 5^3, \dots$ (2) $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots$ (3) $6, -12, 24, -48, \dots$

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について和を求めます。

(1) $1, 5, 5^2, 5^3, \dots$

(2) $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots$

(3) $6, -12, 24, -48, \dots$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式は次の通りです。

初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$r \neq 1$ のとき、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき、$S_n = na$

で与えられます。

(1) 初項$a = 1$, 公比$r = 5$です。$r \neq 1$ なので、

$S_n = \frac{1(1-5^n)}{1-5} = \frac{1-5^n}{-4} = \frac{5^n-1}{4}$

(2) 初項$a = \frac{1}{3}$, 公比$r = \frac{1}{3}$です。$r \neq 1$ なので、

$S_n = \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (1-\frac{1}{3^n}) = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n}) = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n}) = \frac{3^n-1}{2 \cdot 3^n}$

(3) 初項$a = 6$, 公比$r = -2$です。$r \neq 1$ なので、

$S_n = \frac{6(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{6(1-(-2)^n)}{3} = 2(1-(-2)^n)$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$

(2) $S_n = \frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}$

(3) $S_n = 2(1 - (-2)^n)$