$a=b$ という等式を変形した結果、$1=2$ となってしまった。$a=b$ が正しいとき、①～⑥の変形のうち誤っているものをすべて挙げ、その理由を答える。ただし、$a, b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。

1. 問題の内容

$a=b$ という等式を変形した結果、$1=2$ となってしまった。$a=b$ が正しいとき、①～⑥の変形のうち誤っているものをすべて挙げ、その理由を答える。ただし、$a, b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。

2. 解き方の手順

① $a=b$ (与えられた条件)

② $a=b$ の両辺に $b$ をかけると、 $ab = b^2$ となる。これは正しい。

③ $ab=b^2$ から $a^2$ を引くと、$ab-a^2 = b^2 - a^2$ となる。これは正しい。

④ $ab - a^2 = a(b-a)$ 、 $b^2 - a^2 = (b+a)(b-a)$ より、$a(b-a) = (b+a)(b-a)$ となる。これは正しい。

⑤ 両辺を $b-a$ で割ると、$\frac{a(b-a)}{b-a} = \frac{(b+a)(b-a)}{b-a}$ より、$a = b+a$ となる。

⑥ $a = b+a$ から $a$ を引くと、$0 = b$ となる。問題文より $b \neq 0$ であるため、矛盾する。

手順④から手順⑤への変形で、$b-a$ で両辺を割っている。$a=b$ より $b-a = 0$ であるため、0で割ることはできない。これが誤り。

3. 最終的な答え

誤っている変形は④から⑤。理由は、$a=b$ より $b-a=0$ であり、0で割ることはできないから。