与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置く。

すると、与えられた式は $x^3 + y^3 + z^3$ となる。

ここで、$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0$ である。

$x+y+z = 0$ のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ という公式が成り立つ。

(この公式は、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ であることから導かれる。)

したがって、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$ となる。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$