関数 $f_1(x) = x$ と $f_2(x) = e^x$ を解に持つ2階線形同次微分方程式として、次の選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。 (1) $(x-1)y'' - xy' + y = 0$ (2) $(x-1)y'' + xy' + y = 0$ (3) $(x-1)y'' - xy' - y = 0$ (4) $(x-1)y'' + y = 0$ (5) (1)～(4)のいずれでもない

1. 問題の内容

関数 $f_1(x) = x$ と $f_2(x) = e^x$ を解に持つ2階線形同次微分方程式として、次の選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

(1) $(x-1)y'' - xy' + y = 0$

(2) $(x-1)y'' + xy' + y = 0$

(3) $(x-1)y'' - xy' - y = 0$

(4) $(x-1)y'' + y = 0$

(5) (1)～(4)のいずれでもない

2. 解き方の手順

与えられた関数 $f_1(x) = x$ と $f_2(x) = e^x$ を微分方程式に代入して、微分方程式が成立するかどうかを確認します。

まず、$f_1(x) = x$ について、$y = x$ なので、$y' = 1$、$y'' = 0$ です。

次に、$f_2(x) = e^x$ について、$y = e^x$ なので、$y' = e^x$、$y'' = e^x$ です。

(1) $(x-1)y'' - xy' + y = 0$

$y = x$ の場合： $(x-1)(0) - x(1) + x = -x + x = 0$

$y = e^x$ の場合： $(x-1)(e^x) - x(e^x) + e^x = xe^x - e^x - xe^x + e^x = 0$

したがって、(1) は $y=x$ と $y=e^x$ を解に持ちます。

(2) $(x-1)y'' + xy' + y = 0$

$y = x$ の場合： $(x-1)(0) + x(1) + x = x + x = 2x \neq 0$

$y = e^x$ の場合： $(x-1)(e^x) + x(e^x) + e^x = xe^x - e^x + xe^x + e^x = 2xe^x \neq 0$

したがって、(2) は解になりません。

(3) $(x-1)y'' - xy' - y = 0$

$y = x$ の場合： $(x-1)(0) - x(1) - x = -x - x = -2x \neq 0$

$y = e^x$ の場合： $(x-1)(e^x) - x(e^x) - e^x = xe^x - e^x - xe^x - e^x = -2e^x \neq 0$

したがって、(3) は解になりません。

(4) $(x-1)y'' + y = 0$

$y = x$ の場合： $(x-1)(0) + x = x \neq 0$

$y = e^x$ の場合： $(x-1)(e^x) + e^x = xe^x - e^x + e^x = xe^x \neq 0$

したがって、(4) は解になりません。

上記より、(1)が適切な微分方程式であると判断できます。

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)y'' - xy' + y = 0$