関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ (ただし $x \ge 1$) の最小値を $g(a)$ とする。 (1) $g(a)$ を $a$ で表せ。 (2) $g(a)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ (ただし $x \ge 1$) の最小値を $g(a)$ とする。

(1) $g(a)$ を $a$ で表せ。

(2) $g(a)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 1$

軸は $x = a$ である。

$x \ge 1$ の範囲で考えるので、軸 $x=a$ が $x \ge 1$ の範囲にあるか、ないかで場合分けをする。

(i) $a < 1$ のとき

$x \ge 1$ において $f(x)$ は単調減少なので、 $x=1$ で最小値をとる。

$g(a) = f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a + 1 = 1 - 2a + 2a + 1 = 2$

(ii) $a \ge 1$ のとき

$x=a$ で最小値をとる。

$g(a) = f(a) = a^2 - 2a(a) + 2a + 1 = a^2 - 2a^2 + 2a + 1 = -a^2 + 2a + 1$

以上より、

$g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \ge 1) \end{cases}$

(2) $g(a)$ の最大値を求める。

(i) $a < 1$ のとき、$g(a) = 2$

(ii) $a \ge 1$ のとき、$g(a) = -a^2 + 2a + 1 = -(a - 1)^2 + 2$

これは $a=1$ のときに最大値 2 をとる。

よって、$g(a)$ の最大値は 2 である。

3. 最終的な答え

(1)

$g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \ge 1) \end{cases}$

(2) $2$