与えられた連立一次方程式を解く問題（レポート問題3）、行列のランクを求める問題（レポート問題4）、行列の逆行列を求める問題（レポート問題5）、行列式の値を求める問題（レポート問題6）です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題（レポート問題3）、行列のランクを求める問題（レポート問題4）、行列の逆行列を求める問題（レポート問題5）、行列式の値を求める問題（レポート問題6）です。

2. 解き方の手順

レポート問題3：連立一次方程式を解く。

（0）(i)

与えられた連立一次方程式は：

$0x + 0y + z = 19$

$13x - 23y + 5z = 11$

$-21x + 0y - 6z = 2$

最初の式から $z = 19$。これを2番目と3番目の式に代入して、

$13x - 23y + 5(19) = 11$

$-21x - 6(19) = 2$

整理すると、

$13x - 23y = -84$

$-21x = 116$

よって $x = -\frac{116}{21}$。これを最初の式に代入して、

$13(-\frac{116}{21}) - 23y = -84$

$-\frac{1508}{21} - 23y = -84$

$-23y = -84 + \frac{1508}{21} = \frac{-1764 + 1508}{21} = -\frac{256}{21}$

$y = \frac{256}{21 \times 23} = \frac{256}{483}$

解は $x = -\frac{116}{21}, y = \frac{256}{483}, z = 19$

（1）(i)

与えられた連立一次方程式は：

$x + 0y + z = 6$

$-3x + y + z = -16$

$x + 0y + 2z = 9$

1番目の式から $x + z = 6$。3番目の式から $x + 2z = 9$。

2つの式を引くと、$-z = -3$, $z=3$。$x = 6 - 3 = 3$

$-3x + y + z = -16$に代入して、$(-3)(3) + y + 3 = -16$

$-9 + y + 3 = -16$

$y - 6 = -16$

$y = -10$

解は $x = 3, y = -10, z = 3$

（2）(i)

与えられた連立一次方程式は：

$0x + y - 2z = 3$

$x + 0y - 3z = 1$

$-2x + y + 4z = 1$

1番目の式から $y = 3 + 2z$。2番目の式から $x = 1 + 3z$。

3番目の式に代入して、$(-2)(1 + 3z) + (3 + 2z) + 4z = 1$

$-2 - 6z + 3 + 2z + 4z = 1$

$1 + 0z = 1$

$0z = 0$。zは任意の値を取る。

解は $x = 1 + 3z, y = 3 + 2z, z = z$

レポート問題4：行列のランクを求める

(i). $

\begin{pmatrix}

1 & -2 & 3 \\

-2 & 4 & 6

\end{pmatrix}

$$

2行目は1行目の-2倍であるため、ランクは1

(ii). $

\begin{pmatrix}

4 & -1 & 3 \\

-12 & 3 & -9 \\

8 & -2 & 6

\end{pmatrix}

$$

2行目は1行目の-3倍、3行目は1行目の2倍であるため、ランクは1

レポート問題5：行列の逆行列を求める

(i). $

\begin{pmatrix}

6 & -3 \\

-10 & 7

\end{pmatrix}

$$

行列式は $6 \times 7 - (-3) \times (-10) = 42 - 30 = 12$

逆行列は$\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 10 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7/12 & 1/4 \\ 5/6 & 1/2 \end{pmatrix}$

(ii). $

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 \\

0 & 2 & 3 \\

2 & 5 & 0

\end{pmatrix}

$$

行列式は $1(2 \times 0 - 3 \times 5) - 2(0 \times 0 - 3 \times 2) + (-1)(0 \times 5 - 2 \times 2) = -15 - 2(-6) -1(-4) = -15 + 12 + 4 = 1$

余因子行列は $

\begin{pmatrix}

-15 & 6 & -4 \\

-5 & 2 & -1 \\

8 & -3 & 2

\end{pmatrix}

$$

転置行列は $

\begin{pmatrix}

-15 & -5 & 8 \\

6 & 2 & -3 \\

-4 & -1 & 2

\end{pmatrix}

$$

逆行列は $

\begin{pmatrix}

-15 & -5 & 8 \\

6 & 2 & -3 \\

-4 & -1 & 2

\end{pmatrix}

$$

レポート問題6：行列式の値を求める

(i). $\begin{vmatrix} 7 & 8 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 7 \times 5 - 8 \times 3 = 35 - 24 = 11$

(ii). $\begin{vmatrix} 0 & -5 & 0 \\ 4 & 7 & 6 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - (-5)(4 \times 1 - 6 \times 2) + 0 = 5(4 - 12) = 5(-8) = -40$

(iii). $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 5 & 7 & 6 \\ 2 & 1 & 11 \end{vmatrix} = 3(7 \times 11 - 6 \times 1) - 0 + 12(5 \times 1 - 7 \times 2) = 3(77 - 6) + 12(5 - 14) = 3(71) + 12(-9) = 213 - 108 = 105$

(iv). $\begin{vmatrix} 6 & -2 & 7 \\ 4 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 6(3 \times 9 - 1 \times 1) - (-2)(4 \times 9 - 1 \times 5) + 7(4 \times 1 - 3 \times 5) = 6(27 - 1) + 2(36 - 5) + 7(4 - 15) = 6(26) + 2(31) + 7(-11) = 156 + 62 - 77 = 141$

3. 最終的な答え

レポート問題3：

(0)(i): $x = -\frac{116}{21}, y = \frac{256}{483}, z = 19$

(1)(i): $x = 3, y = -10, z = 3$

(2)(i): $x = 1 + 3z, y = 3 + 2z, z = z$

レポート問題4：

(i): 1

(ii): 1

レポート問題5：

(i): $\begin{pmatrix} 7/12 & 1/4 \\ 5/6 & 1/2 \end{pmatrix}$

(ii): $\begin{pmatrix} -15 & -5 & 8 \\ 6 & 2 & -3 \\ -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

レポート問題6：

(i): 11

(ii): -40

(iii): 105

(iv): 141